Resolver sistemas de ecuaciones de cuadráticas $3$

Question

Consideremos el sistema de ecuación

<span class="math-container">$${{x}^{2}}+{{(1-y)} ^ {2}} = a\ {{y}^{2}}+{{(1-z)} ^ {2}} = b\ {{z}^{2}}+{{(1-x)} ^ {2}} = c$ $</span>

Calcular el <span class="math-container">$x(1-x)$</span> <span class="math-container">$a,b,c$</span>.

Answer 1

Contrario a algunos de los comentarios, esto no es un alto grado del sistema. Resulta ser cuadrática.

Geométricamente, el sistema consta de tres cilindros cuyos ejes son desfase perpendiculares uno al otro y a la misma distancia el uno del otro. Con esta disposición, hay una triple simetría entre el cilindro ejes, el eje de simetría mentir a lo largo de la línea de $x=y=z$. La presencia de este eje de simetría conduce a múltiples cancelaciones en el tratamiento algebraico. Los cilindros pueden ser desiguales en los radios para que no se ajustan a la triple simetría, pero los parámetros que determinan los radios no añadir más términos del grado. Por lo tanto el grado de que el sistema se reduce por la simetría entre los ejes de los cilindros.

Debido a que el sistema de ecuaciones pares de cada variable $x,y,z$ con $1-x,1-y,1-z$, consideremos un origen mayús definido por

$(u,v,w)=(x-(1/2),y-(1/2),z-(1/2))$

En términos de la cambió variables tenemos los siguientes:

$u^2+v^2+u-v=a-(1/2)\text{.....Eq. 1}$

$v^2+w^2+v-w=b-(1/2)\text{.....Eq. 2}$

$w^2+u^2+w-u=a-(1/2)\text{.....Eq. 3}$

Si sumamos estas ecuaciones se descubre que los términos lineales cancelar la producción de una esfera centrada en el pasado de origen. Aquí la suma se divide por $2$ a aislar a la suma de $u^2+v^2+w^2$:

$u^2+v^2+w^2=((a+b+c)/2)-(3/4)\text{.....Eq. 4}$

Ahora tome dos veces Eq. 1 y restar Nca. 2 y 3. A continuación, del mismo modo que dar el doble de Eq. 3 y restar Nca. 1 y 2. Dividiendo ambas combinaciones lineales por un factor común de 3 en el lado izquierdo, a continuación, da las siguientes diferencias entre las incógnitas:

$u-v=((2a-b-c)/3)\text{.....Eq. 5}$

$w-u=((2c-a-b)/3)\text{.....Eq. 6}$

Ahora es fácil, aunque desordenado. El Uso De Ecualizadores. 5 y 6 para eliminar la $v$ e $w$, sustituir en la ecuación. 4 para $u$, y (si lo he hecho bien) obtener el siguiente:

$108u^2+72(c-a)u+(20(a^2+c^2)-32ac-8b(a-b+c)-18(a+b+c)+27)=0$

Esto puede resolvió por $u$ y el original de la función de destino, $x(1-x)$, puede ser interpretada como

$((1/2)+u)((1/2)-u)=(1/4)-u^2$.

Tenga en cuenta que este será un único valor sólo si $a=c$ (los cilindros con ejes no paralelos a la $x$ eje son congruentes) o en el caso de degeneración si el doble de la raíz (tangencia).