Valor de la norma del operador cuando$\mathcal{T}f(x)=\int^{x}_{0} f(t)dt$

Question

Deje $\mathcal{C}$ ser el espacio de funciones continuas en $[0,1]$ equipado con la norma $\|f\|=\int^{1}_{0}|f(t)|dt$. Definir un lineal mapa de $\mathcal{T}:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{C}$por $$ \mathcal{T}f(x)=\int^{x}_{0}f(t)dt. $$ Mostrar que $\mathcal{T}$ está bien definido y delimitado, y determinar el valor de $\|\mathcal{T}\|_{\text{op}}$.

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He probado las dos primeras partes de mí mismo, pero estoy teniendo problemas con la determinación del valor de $\|\mathcal{T}\|_{\text{op}}$. Yo era capaz de demostrar que está delimitada por $1$ , aunque. Observar que

$$\|\mathcal{T}f\|=\int^{1}_{0}\left|\int^{x}_{0}f(t)dt\right|dx\leq \int^{1}_{0}\|f\|dx = \|f\| $$ Por lo tanto,

$$ \|\mathcal{T}\|_{\text{op}} = \underset{\|f\|=1}{\sup}\frac{\|\mathcal{T}f\|}{\|f\|}\leq \underset{\|f\|=1}{\sup}\frac{\|f\|}{\|f\|}=1 $$

Traté de ver si podía, a continuación, construir una función donde el operador es igual a $1$, pero no he tenido éxito. Alguien tiene alguna solución o sugerencias? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Para $n\in \Bbb N:$ Deje $K_n=\frac {1}{n+1}+\frac {1}{(n+1)^2}.$ Deje $f_n(x)=n+1$ para $x\in [0,\frac {1}{n+1}].$ Deje $f_n(x)=0$ para $x\in [K_n,1].$ Deje $f_n(x)$ ser lineal para $x\in [\frac {1}{n+1},K_n].$

Tenemos $\|f_n\|=1+\frac {1}{2(n+1)}.$

Para $x\in [\frac {1}{n+1},1]$ tenemos $(Tf_n)(x)\geq (Tf_n)(\frac {1}{n+1})=1.$ $$\text {So }\quad \|Tf_n\|\geq \int_{1/(n+1)}^1 (Tf_n)(x)dx\geq \int_{1/(n+1)}^1 1\cdot dx=$$ $$=1-\frac {1}{n+1}.$$

$$\text {So} \quad \frac {\|Tf_n\|}{\|f_n\|}\geq \frac {1-\frac {1}{n+1}}{ 1+\frac {1}{2(n+1) }}.$$

Answer 2

Puede ser difícil (o imposible) encontrar una función para la que $ ||\mathcal{T}f||$ es exactamente igual a $||f||$, pero usted sólo tiene que encontrar una secuencia de funciones de $f_n$, de tal manera que $$\frac{||\mathcal{T}f_n||}{||f_n||} \to 1\quad \text{as } n \to \infty.$$

Tenga en cuenta que usted no necesita el límite de la $f_n$ a ser una función continua!

Usted debe tratar de construir uno de estos secuencia mediante funciones elementales. Trate de anotar un par de ejemplos con algunos parámetros libres, y ver si usted puede cocinar una secuencia!