La transformada de Laplace de la identidad

Question

Hay una función igual a la transformada de Laplace?

Me refiero

$$ \int_{0}^{\infty}dt\exp(-st)f(t)= f(s).$$

Claro que lo sé $f(t)=0 $ satisfagan la ecuación.

Para el caso de la transformada de Fourier, sé que los Polinomios de Hermite son eigenfunction de la transformada de Fourier, tal vez sea suficiente con un cambio o rotación en el plano complejo ($s \rightarrow i\omega$)?

Answer 1

Para $l$ con parte real mayor que $1$ un estándar de cálculo de los rendimientos de $$ \mathcal{L}(t^l) = s^{-l-1} \Gamma(l+1).$$ Pick $z$ with real part between $0$ and $1$ and let $f(t)=\sqrt{\Gamma(z)} t^{z} + \sqrt{\Gamma(1-z)} t^{z-1}.$ Then we have $$ \mathcal{L}\left( f \right) = \sqrt{ \Gamma(z) \Gamma(1-z) } \cdot f(s).$$

Desde $\displaystyle \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)} $ es suficiente para encontrar un $z$ con parte real entre el $0$ $1$ tal que $\sin(\pi z)=\pi.$ Una solución es $ z= \displaystyle \frac{\sin^{-1} \pi}{\pi} $ donde $\sin^{-1}(\pi) = \dfrac{\pi}{2} - i \log(\pi + \sqrt{\pi^2-1}) .$ por lo Tanto, la transformada de Laplace operador tiene un punto fijo.