¿Cómo son los dígitos conocidos de $\pi$ ¿Garantizado?

Question

Al discutir con mi hijo algunos de los muchos métodos para calcular los dígitos de $\pi$ (nivel escolar de 15 años), me di cuenta de que los métodos que conozco más o menos (aproximación geométrica, Monte Carlo y series básicas) son todos convergentes pero ninguno de ellos establece explícitamente que el $n$ -dígito calculado en algún momento es efectivamente un dígito verdadero (que no cambiará en cálculos posteriores).

Por ejemplo, el Serie Gregory-Leibniz nos da, para cada paso:

$$\begin{align} \frac{4}{1} & = 4\\ \frac{4}{1}-\frac{4}{3} & = 2.666666667...\\ \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5} & = 3.466666667...\\ \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7} & = 2.895238095... \end{align}$$

La parte entera ha cambiado cuatro veces en cuatro pasos. ¿Por qué sabemos que $3$ ¿es el primer dígito correcto?

De forma similar en Monte Carlo: cuanto mayor sea la muestra, mejor será el resultado, pero ¿sabemos matemáticamente que "ahora que hemos probado [that many times] Estamos matemáticamente seguro de que $\pi$ comienza con $3$ ".

En otras palabras:

• hace cada una de las técnicas para calcular $\pi$ (o al menos las más importantes) tienen una prueba de que una cifra determinada es ahora correcta?
• Si no es así, ¿cuáles son los ejemplos de los que sí tienen esta prueba y los que no?

Nota: Las grandes respuestas hasta ahora (¡gracias!) mencionan una prueba sobre una técnica específica, y/o una prueba de que un dígito específico es realmente el correcto. Me interesaba más entender si esto se aplica a todas las técnicas (principales) (= si todas certifican que este se garantiza que el dígito es correcto) .

O que tengamos algunos que sí (los de las dos primeras respuestas por ejemplo) y otros no (cuanto más lejos vayamos, más preciso será el número pero no sabemos si no saltará algo en algún paso y cambiará un dígito previamente estable. Al teclear esto y pensar sobre la marcha, me pregunto si esto no sería una técnica muy mala en sí misma, debido a esa falta de estabilidad)

Answer 1

Tenga en cuenta que $\pi=6\arcsin\left(\frac12\right)$ . Así que, desde $$\arcsin(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac1{2^{2n}}\binom{2n}n\frac{ x^{2n+1}}{2n+1},$$ tienes $$\pi=\sum_{n=0}^\infty\frac6{2^{4n+1}(2n+1)}\binom{2n}n.$$ Ahora, para cada $N\in\mathbb{Z}^+$ , dejemos que $$S_N=\sum_{n=0}^N\frac6{2^{4n+1}(2n+1)}\binom{2n}n\text{ and let }R_N=\sum_{n=N+1}^\infty\frac6{2^{4n+1}(2n+1)}\binom{2n}n.$$ Entonces:

• $(\forall N\in\mathbb{Z}^+):\pi=S_N+R_N$ ;
• la secuencia $(S_N)_{N\in\mathbb{Z}_+}$ es estrictamente creciente y $\lim_{N\to\infty}S_N=\pi$ . En particular, cada $S_N$ es una mejor aproximación de $\pi$ que el anterior.

Desde $$(\forall n\in\mathbb N):\binom{2n}n<4^n=2^{2n},$$ tienes $$R_N<\sum_{n=N+1}^\infty\frac6{2^{2n+1}}=\frac1{4^N}.$$ Así que, tomando $N=0$ , lo consigues $\pi=S_0+R_0$ . Pero $S_0=3$ y $R_0<1$ . Así, el primer dígito de $\pi$ es $3$ . Si se toma $N=3$ entonces $\pi=S_3+R_3$ . Pero $S_3\approx3.14116$ y $R_3<0.015625$ . Así, el segundo dígito es $1$ . Y así sucesivamente

Answer 2

El método más sencillo de explicar a un niño es probablemente el método del polígono, que establece que la circunferencia de un círculo está limitada desde abajo por la circunferencia de un regular inscrito $n$ -polígono y desde arriba por la circunferencia de un polígono circunscrito.

Una vez que se tiene un límite por abajo y por arriba, se pueden garantizar algunos dígitos. Por ejemplo, cualquier número entre $0.12345$ y $0.12346$ comenzará con $0.1234$ .

Answer 3

Creo que la respuesta general que buscas es:

Sí, demostrando que un método para calcular $\pi$ funciona requiere también describiendo (y probando) una regla para cuando puedes estar seguro de un dígito que has producido. Si el método se basa en "sumar tal o cual serie", esto significa que hay que proporcionar una límite de error para la serie. Antes de tener eso, lo que estás viendo no es todavía un "método para calcular $\pi$ ".

Así que la respuesta a tu primera pregunta es "Sí; porque si no, no contarían como técnicas para el cálculo $\pi$ en absoluto".

A veces el límite de error puede dejarse implícito porque se supone que el lector conoce algunos teoremas generales que conducen a un límite de error obvio. Por ejemplo, la serie de Leibniz que está utilizando es una serie alterna absolutamente decreciente y, por tanto, podemos aprovechar un teorema general que dice que el límite de dicha serie es siempre estrictamente entre las dos últimas sumas parciales. Por lo tanto, si se obtienen dos aproximaciones seguidas que comienzan con el mismo $n$ dígitos, puedes confiar en esos dígitos.

(La serie de Leibniz es, por supuesto, una forma bastante horrible de calcular $\pi$ -- por ejemplo, necesitarás al menos dos millones de términos antes de tener alguna esperanza del primer seis dígitos después del punto que se estabiliza, y el número de términos necesarios aumenta exponencialmente cuando se quieren más dígitos).

En otros casos en los que un límite de error no es tan fácil de ver, puede ser necesario recurrir a la astucia ad-hoc para encontrar y demostrar dicho límite - y entonces esta astucia es parte del método .

Answer 4

En su respuesta, José muestra cómo calcular pi mediante una aproximación específica y por qué funciona. Creo que el por qué se pasa por alto allí y quería aclarar y hacer menos específico el cálculo de $\pi$ .

Imagina que calculas $S = \Sigma_0^{\infty} a_n$ para algunas series $a_n$ . Y, después de sumar los primeros términos, digamos $\bar S_i = \Sigma_0^i a_n$ también se puede demostrar que el resto de la suma está por debajo de algunos límites $R_i^- \le \Sigma_{i + 1}^\infty a_n \le R_i^+$ . Entonces sabes también que $\bar S_i + R_i^- \le S \le \bar S_i + R_i^+$ . Ver como eso limita la suma exacta $S$ ¿desde arriba y desde abajo? Si ahora tanto arriba como abajo tienen los mismos dígitos iniciales, podemos estar seguros de que esos son también los dígitos iniciales de $S$ .

Ahora, mira de nuevo lo que hace José: calcula la suma sobre una serie hasta el término $N$ - la serie exacta no es importante aquí. Se aproxima a los errores $R_N^- = 0$ - todos los términos son positivos - y $R_N^+ = \frac{1}{4^N}$ . Así que después de sumar la primera $N$ términos, lo que yo llamaba $\bar S_N$ definitivamente se puede decir $\bar S_N \le S \le \bar S_N + \frac{1}{4^N}$ .

Answer 5

Las respuestas dadas hasta ahora a esta gran pregunta ilustran un problema que deberíamos corregir en este foro: Nos apresuramos de buena fe a decir algo inteligente, algo que otros matemáticos pueden disfrutar por su ingenio, pero algo que a menudo es difícil de digerir para el OP.

*Se baja de la caja de jabón

Permítanme intentar una visión diferente que será de utilidad para un joven de 15 años. La pregunta tiene dos partes: a) ¿Todos los métodos conocidos consiguen un número arbitrario de dígitos correctos? b) ¿Cómo saber que un dígito ya es correcto?

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a) A lo largo de la historia, la gente ha encontrado muchas formas ingeniosas de aproximado $\pi$ , digamos que como $22/7$ o $\sqrt{10}$ . A veces sabían que tenían una aproximación, otras veces suponían erróneamente que tenían el valor real. Cuando en las matemáticas modernas se presenta una fórmula para $\pi$ se garantiza que dará (eventualmente) tantos dígitos como se desee. La palabra clave es decir que la fórmula converge .

Tenga en cuenta que los matemáticos redactan las cosas de forma diferente; no nos importa que "obtengamos un número arbitrario de dígitos correctamente", sino que el valor calculado "se acerque arbitrariamente al valor objetivo". Son equivalentes, pero el segundo no depende de la escritura de los números en base 10.

b) Cada fórmula converge a su propio ritmo, por lo que no hay una forma universal de decidir cuándo se resuelve una cifra dada por una u otra. Sin embargo, existen técnicas generales para demostrar la convergencia, y a menudo es posible ver a simple vista (o tras un breve cálculo) que la fórmula converge. Otras veces no es tan sencillo...

Así que vamos a ver un solo ejemplo; concretamente la fórmula mencionada en la pregunta: $$4-4/3+4/5-4/7+\ldots$$

Esto es particularmente lento, pero ofrece una gran visión de la convergencia. Es un ejemplo de serie alternante; es decir, se suma, luego se resta, luego se suma, luego se resta, en perfecta alternancia. Además, cada término es menor que el anterior, como en $4/3>4/5>4/7>\ldots$ . Además estos términos se vuelven arbitrariamente pequeños, como en $$4/4000001 < 4/4000000 = 0.000001$$

Ahora bien, dadas estas tres condiciones, sabemos que la suma infinita convergerá a un valor final (que nos dicen que es $\pi$ ). ¿Por qué? Traza las sumas consecutivas en la recta real para ver qué ocurre. Se obtiene 4, luego 2,6666, luego 3,46666, etc. Más, luego menos, luego más, de modo que los valores se anidan (porque cada término es menor que el anterior), y sobrepasan el valor final de $\pi$ . Como los términos se hacen pequeños, las sumas se ven obligadas a acercarse cada vez más al valor final.

Aquí está el pateador Cuando se agrega $4/41$ (por ejemplo), te has pasado de la raya, por lo que la suma actual está más cerca a $\pi$ que $4/41$ y lo mismo para cualquier otro sumando.

En particular, cuando se añade $4/4000001$ , está más cerca del objetivo que 0,000001, y los primeros 5 dígitos estarán garantizados.

Descargo de responsabilidad. Esto no demuestra que el valor final sea $\pi$ . Eso requiere más matemáticas. El argumento sólo muestra que la suma converge a un valor final.