Difícil testproblem SAT

Question

edit: no, no es a^2 * b^3 = 432, ver la foto de la prueba adjunta, pero me hizo missread la pregunta :)

Esta prueba SAT pregunta me ha pegado:

Si a y b son enteros positivos y ${({a^{(1/2)}} \cdot {b^{(1/3)}})^6} = 432$ ¿cuál es el valor de $ab$?

(a) 6
(b) 12
(c) 18
(d) 24
(e) 36

La respuesta correcta es la (b), pero ¿por qué? Cualquier sugerencia en cuanto a cómo resolver este tipo de problemas de forma eficiente?

Gracias!

Foto de la pregunta:

Answer 1

EDIT: Ah, ahora tenemos la pregunta correcta. $$\left(a^{1/2} \cdot b^{1/3}\right)^{6} = 432$$

Tenga en cuenta las siguientes dos propiedades de la exponenciación: $$a^{bc}=(a^b)^c\qquad (ab)^c=a^cb^c.$ $ así $$\left(a^{1/2} \cdot b^{1/3}\right)^{6} =(a^{1/2})^{6}(b^{1/3})^{6}=a^{(1/2)(6)}b^{(1/3)(6)}=a^3b^2$ $

Ahora considere %#% de #% en factores primos para encontrar la respuesta:

$432$$

Desea encontrar dos piezas de la factorización de tal manera que la primera pieza se produce 3 veces, la segunda pieza ocurre 2 veces, y poner juntos, esas repeticiones forman la factorización entera. Así la única respuesta posible es por lo tanto del $ de $$432=2^4\cdot 3^3=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3$ $$432=2^4\cdot 3^3=\underbrace{2\cdot 2}{b}\cdot \underbrace{2\cdot 2}{b}\cdot \underbrace{3}{a}\cdot \underbrace{3}{a}\cdot \underbrace{3}_{a}$y $a=3$, por lo tanto, $b=4$.

Answer 2

He aquí un menor exponente método intensivo. Desde $a$ $b$ son enteros positivos, se deduce que el $a^2$ es un cuadrado perfecto y $b^3$ es un cubo perfecto. Por lo tanto, queremos escribir $432$ como un cuadrado perfecto veces de un cubo perfecto. Después de haber hecho esto, entonces multiplicar la raíz cuadrada del cuadrado perfecto (es decir,$a$) por la raíz cúbica del cubo perfecto (es decir,$b$).

Cuadrados perfectos (omitiendo $1$) son $4,$ $9,$ $16,$ $25,$ etc. Si usted comprueba para ver si $432$ es divisible por $4$ (motivado por $432$ es incluso; garantizada por la 4 regla de divisibilidad), usted encontrará que es, con $432 = 4 \cdot 108.$

Desde $108$ no es un cubo perfecto ($108$ no es uno de $8,$ $27,$ $64,$ $125,$ etc.), debe haber un mayor factor de cuadrado perfecto de $432$ $4,$ o, equivalentemente, debe ser un cuadrado perfecto factor de $108.$ Comprobar la divisibilidad por $4$ (motivado por $108$ es incluso; garantizada por la 4 regla de divisibilidad), nos encontramos con que $108 = 4 \cdot 27.$ por lo Tanto, de $432 = 4 \cdot 108$ $108 = 4 \cdot 27,$ obtenemos:

$$432 \;= \;4 \cdot (4 \cdot 27) \;= \;16 \cdot 27$$

Ahora que tenemos $432$ escrito como un cuadrado perfecto veces de un cubo perfecto, es fácil ver que $a = 4$ $b = 3,$ $ab = 4 \cdot 3 = 12.$ [Nota: En algunas de las declaraciones anteriormente he asumido el elemento es el sonido.]

Answer 3

Sólo debes elegir números de la respuesta. Por ejemplo, $12=4\times 3$. Si utilizas 3 (a) y 4 (b), $3^{(1/2)(6)}$--o simplemente $3^3$ - y $4^{(1/3)(6)}$--o $4^2$--se multiplica para obtener $432$. Entonces sabes que 4 y 3 son los enteros correcto. desde $4\times 3=12$ [Recuerde que el SAT quiere terminar la respuesta]

Problemas de espalda es su mejor apuesta: ensayo y error es la clave.

Answer 4

$(a^\frac{1}{2}b^\frac{1}{3})^6=432$ requeriría que distribuyes fuera el exponente, lo que resulta en $a^3b^2=432$. Las otras respuestas entonces pueden tomar el resto del camino.