Longitud del intervalo

Question

Actualmente estoy pasando por Terence Tao, el libro de teoría de la medida y estoy teniendo un pequeño problema con uno de sus ejercicios. Nos dice que podemos observar que:

$|I| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{N}\#\left(I \cap\frac{\mathbf{Z}}{N}\right)$

donde $|I|$ es la longitud de cualquier intervalo real, $\#|A|$ es la cardinalidad de un conjunto finito, $N$ es un número entero, y $\frac{\mathbf{Z}}{N}=\{\frac{n}{N}: n \in \mathbf{Z}\}$

Puedo convencerme de que es verdad para una fácil intervalos, como $(2,3)$. Pero estoy teniendo problemas para demostrar que para el caso general, o para la "duro" intervalos, como $(2.113,2.114)$. ¿Alguien tiene algún consejo para empezar?

Answer 1

Asume WLOG que$I=[a,b]$ con$a\leq b$.

Deje que$N$ sea un entero positivo y$x\in I\cap\frac{\mathbb Z}{N}$,$x=\frac{q}{N}$

Luego$Na\leq q\leq Nb$, por lo tanto$\#(I\cap\frac{\mathbb Z}{N})= \lfloor Nb\rfloor-\lfloor Na\rfloor$ y$$\frac{1}{N}\#(I\cap\frac{\mathbb Z}{N})=\frac{\lfloor Nb\rfloor-\lfloor Na\rfloor}{N}=\frac{Nb-Na}{N}+O(\frac{1}{N})=b-a+o(1)=|I|+o(1)$ $