¿Cuál es la relación entre decir "una serie de Taylor converge para todos los$x$" y "una serie de Taylor converge a una función, f (x)"

Question

Dada la siguiente serie de Taylor:

$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}- \dots$

Sabemos que:

1. Converge para todos los de $x$
2. Converge a la función $\cos x$

La serie de Taylor converge para todos los de $x$ si para un valor fijo de $x$, las sumas parciales converge a un límite, $L$.

La serie de Taylor converge a $\cos x$ si su término de error es: $0$ $n$ (el número de términos en la serie de Taylor) tiende a infinito.

Mi pregunta es:

Son estos dos conceptos relacionados?

Pensé que el punto 1 sería útil al probar el punto 2. Pero al hacer la prueba de 2, no veo ninguna conexión con el punto 1. Si los dos conceptos no están relacionados, entonces ¿por qué es útil conocer el intervalo de convergencia de una serie de Taylor (o de cualquiera de las series, para el caso)?

Answer 1

Claramente se relacionan: 2. implica 1. Pero estás en lo correcto de que el uso del Teorema de Taylor con Resto, a veces es posible mostrar 2. directamente sin primero establecer el intervalo de convergencia de la alimentación de la serie.

Como para 1. Así, por ejemplo, lo que si la función se define como una potencia de la serie? E. g. este es quizás el más limpio definición de las trascendentales funciones elementales como $e^x$, $\sin x$, etc.

También, en la práctica, por lo general es mucho más fácil determinar el radio de convergencia de la serie de Taylor de aplicar del Teorema de Taylor con Resto. Si uno sabe que por alguna otra razón que una función es analítica -- por ejemplo, si se satisface adecuadamente agradable ecuación diferencial -- entonces uno tiene 2. a partir del 1 de. más o menos por libre.

Añadido: Aunque creo que las otras respuestas puede faltar un poco de la riqueza de la pregunta (que es una muy buena pregunta), que hace un punto bueno: el intervalo de convergencia de la serie de Taylor es, sin duda, un límite superior para el intervalo en el que la serie de Taylor podría converger a $f$. Cuando este intervalo no se trata solo de $\mathbb{R}$ es útil saber lo que es. Consideremos por ejemplo el caso de el Binomio de la Serie: uno tiene que trabajar un poco para conseguir todo el intervalo de convergencia de del Teorema de Taylor con Resto (aunque puede hacerse). Si no sabemos que el radio de convergencia es$1$, ¿cómo sabemos lo que estamos tratando de mostrar? Usted puede ver los detalles trabajado en $\S$ 12.4.3 de estas notas.

Answer 2

Cuando usted dice que una serie converge, usted garantiza que usted pueda mantener dentro de un rango de definir. Cuando usted dice que converge a una función, entonces usted está diciendo que dentro de cualquier error de límites puede elegir suficiente términos de la secuencia para obtener dentro de los límites de error deseada. Cuando usted está demostrando que la secuencia converge a una función específica, se puede asumir que se es que la función y, a continuación, encontrar el número deseado de términos necesarios para converger a esa función. Básicamente, el #1 es útil para demostrar la #2 porque sabes que hace converger así que usted puede tratar de encontrar lo que converge a. El intervalo de convergencia de una serie de Taylor es importante porque sólo puede utilizar la serie de Taylor para aproximar la función en el intervalo de convergencia, que es la razón por la que el uso de series de Taylor. Si intenta utilizar la serie de Taylor fuera de este intervalo, la serie no converge.

Answer 3

Serie de Taylor para funciones con polos en el plano complejo es finita y el radio de convergencia. Por ejemplo, usted puede demostrar que la serie de Taylor \begin{equation} \frac{1}{1 + x^2} = \sum_n (-1)^n x^{2n} \end{equation} converge a $(1 + x^2)^{-1}$, pero sólo para $|x| < 1$. Por lo tanto, se tiene (2), sin (1). (1) garantiza que su serie de Taylor es buena en cualquier lugar, mientras que (2) nos dice que el desarrollo en serie de Taylor está representando en algún lugar. Así que si usted está tratando de demostrar (2), usted tiene que estar seguro de que, a menos que (1) sostiene que se especifica en los que la serie converge a la función (por ejemplo, en el intervalo de $x \in (-1, 1)$).