Me gustaría tener alguna verificación para ver si mi respuesta es correcta. La función dada es $f(x)=ln(1+x^2)$ y necesito el derivado 40 $x=0$. Aquí está mi obra: serie uno puede manipular $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4...=SUMx^n(-1)^n$ $\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8...=SUMx^{2n}(-1)^n$. Entonces $\frac{2x}{1+x}=2x-2x^3+2x^5-2x^7+2x^9...=2SUMx^{2n+1}(-1)^n$. La integración da $ln(1+x^2)=...=2SUM\frac{x^{2n+2}(-1)^n}{2n+2}$ donde un $2$ cancela para llegar a un $n+1$ en ese denominador. ¿Ahora para el derivado 40 $2n+2=40$ da $n=19$ y por eso creo que la respuesta es $\frac{-40!}{20}$ concurren? ¿De lo contrario podría corregirme? Gracias.
Respuesta
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Tomando el $40$th derivada en 0 será el rendimiento que el coeficiente para la $x^{40}$ término multiplicado por $40!$
El general de la serie natural de registro es:
$$ ln(x+1) = \frac {x^1}1 - \frac {x^2}2 + \frac {x^3}3 - \frac {x^4}4... $$
la sustitución de $x^2$ hace:
$$ ln(x^2+1) = \frac {x^2}1 - \frac {x^4}2 + \frac {x^6}3 - \frac {x^8}4... $$
De esto se desprende que el 20 de término de la primera serie de acciones de su coeficiente con el 40º término de la segunda serie.
El coeficiente es igual a $-\frac 1{20}$. Multiplicando $40!$ a cancelar el implícita de la división se obtiene: $-\frac {40!}{20}$
A partir de este confirmo que su respuesta sea correcta; sin embargo, su prueba y la solución es muy desordenado. Existe una serie de logaritmo natural. El uso de una fracción de la serie y la integración fue un desperdicio de tiempo y esfuerzo.
