Sabemos que $e^{\pi i} = -1$ por la fórmula de De Moivre. ( $e^{\pi i} = \cos \pi + i\sin \pi = -1).$
Supongamos que elevamos al cuadrado ambos lados y obtenemos $e^{2\pi i} = 1$ (que también se obtiene de la fórmula de Moivre), entonces no debería $2\pi i=0$ ? ¿Qué me falta aquí?
Creo que lo de las funciones reales puede ser una pista falsa. Como ha señalado Glen O en los comentarios, hay muchas funciones no inyectivas. Por ejemplo, $(-1)^2 = 1^2$ y sin embargo $-1\ne 1$ . O incluso $3\cdot 0 = 4\cdot 0$ y sin embargo $3\ne 4$ .
Es como decir que, porque $\sin{\pi} = \sin{0}$ que $\pi = 0$ . No todas las funciones tienen inversos perfectos; el pecado es uno de ellos. En los números complejos, $e^z$ tampoco lo hace.
Implícitamente vas a ir: $e^{2\pi i} = e^0 \implies \ln{e^{2\pi i}} = \ln{e^0} \implies 2 \pi i = 0$ . El error aquí es que $\forall x \in \mathbb{C} \ \ln{e^x} = x$ ¡no es cierto! $ln$ ni siquiera es una función, al igual que la versión ingenua de $\arcsin(x)$ . Hay que elegir la gama, que suele ser $\Im(x) \in (-\pi, \pi]$ .
En realidad, lo siguiente es cierto:
$ e^{2n\pi i} = 1 \forall n \in \mathbb{Z} $
Como caso especial de $n = 0$ esto da lo que sabes: $e^0 = 1$ pero, como se ha dicho, se trata sólo de un caso especial de la fórmula general indicada anteriormente.
También podría suponer que $2\pi = 0$ por
$\sin 2\pi = \sin 0 \land \cos 2\pi = \cos 0$ .
Como otros ya han mencionado, estas cosas no son inyectivas, por lo que las conclusiones que se basan en la inyectividad pueden ser erróneas.
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El mapa exponencial en el plano complejo no es inyectivo. Tienes razón al decir que tanto $e^{2\pi i}=1$ y $e^0=1$ pero sin inyectividad, no podemos concluir que $2\pi i=0$ .
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Es lo mismo que por qué $-1\neq 1$ a pesar del hecho de que $(-1)^2=1^2$ .
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Yo mido 70 pulgadas y Joe Smith también. Como ambos tenemos la misma altura, yo debo ser Joe Smith, ¿no? No. Sólo porque $f(x) = f(y)$ no significa que $x=y$ .
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Gracias a todos. Es que no me había dado cuenta de que las funciones logarítmicas no eran inyectivas en el ámbito complejo.
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Sin(0) = sin(2pi) así que 0 = 2pi, ¿cómo funciona eso?
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@imranfat: Si $2\pi i=0$ entonces ciertamente $2\pi=0$ , sólo hay que multiplicar por $-i$ . :-)
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Esto realmente no es un duplicado de la pregunta a la que está vinculada. Se trata de dos cuestiones distintas con la exponentación compleja (esta cómo $e^z$ no es inyectiva, y que un cómo elevar a potencias no enteras no es monovaluado). Las cuestiones están relacionadas, pero la relación no es obvia y, ciertamente, ver la respuesta a una de ellas no hace que la respuesta a la otra sea obvia para alguien que es nuevo en estas ideas.