La función de $f:ℝ→ℝ$ es continua en a $x_0\inℝ$. Demostrar el uso de la definición de una Integral de Darboux que $$\lim_{h→0}∫_{x_0}^{x_0+h}\frac{f(t)}{h}=f(x_0)$$
Soy una matemática de primer grado los estudiantes que siguen un curso de análisis. El libro que se utiliza es el Análisis Elemental por Ross.
Definiciones
La parte superior de Darboux suma $U(f,P)$ $f$ con respecto a una partición $P$ es la suma $$U(f,P)=∑_{k=1}^nM(f,[t_{k-1},t_k])(t_k-t_{k-1})$$
La inferior de Darboux suma $L(f,P)$ $f$ con respecto a una partición $P$ es la suma $$L(f,P)=∑_{k=1}^nm(f,[t_{k-1},t_k])(t_k-t_{k-1})$$
- $f$ es continua en $x_0$ ⇔ $∀ε>0,∃δ>0,(|x-x_0|<δ ⇒ |f(x)-f(x_0)|<ε)$
- Deje $f$ ser una función definida en el en $J-\{a\}$ para un intervalo de $J$ containin $a$, y deje $L$ ser un número real. A continuación, $ \lim_{x→a}f(x)=L$ si y sólo si $$∀ε>0,∃δ>0,(0<|x-a|<δ⇒|f(x)-L|<ε)$$
Alguien puede comprobar si se trata de una correcta prueba ?
Prueba
Deje $ε>0$. Entonces existe una $δ>0$, tal que: $|x-x_0|<δ ⇒ |f(x)-f(x_0)|<ε$. Deje $0<|h-0|<δ$. Si $x\in[x_0,x_0+h]$$x\in(x_0-δ,x_0+δ)$,$|f(x)-f(x_0)|<ε$,$|\frac{f(x)}{h}-\frac{f(x_0)}{h}|<\frac{ε}{h}$.
Por lo tanto: \begin{equation*} m ( \frac{f(x)}{h},[x_0,x_0+h]) \cdot (x_0+h - x_0) ≥ \frac{f(x_0)-ε}{h} \cdot h = f(x_0)-ε \end{ecuación*} \begin{equation*} M ( \frac{f(x)}{h},[x_0,x_0+h]) \cdot (x_0+h - x_0) ≤ \frac{f(x_0)+ε}{h} \cdot h = f(x_0)+ε \end{ecuación*}
Por lo tanto, podemos concluir que para una partición $P$ $[x_o,x_0+h]$
\begin{equation*} f(x_0)-ε< L(f,P)≤∫_{x_0}^{x_0+h}\frac{f(t)}{h}≤U(f,P)<f(x_0)+ε \end{ecuación*} QED
