¿Cómo puedo encontrar un límite $\frac{n}{1} +\cdots+ \frac{n}{n}$ dado $n< 10^{18}$?

Question

<blockquote> <p>¿Podría ayudarme a encontrar un límite de $$ \frac{n}{1} + \cdots+ \frac{n}{n} $$ dado $n< 10^{18}$?</p> </blockquote> <p>Si no hay ninguna fórmula matemática, algoritmos ayudarán demasiado :)</p>

Answer 1

Usando el comportamiento asymtopic de la serie armónica, tenemos\begin{eqnarray} n \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}= n \left(\ln n +\gamma+ \frac{1}{2n} + o(\frac{1}{n^2})\right) \end{eqnarray } que da un valor de $\color{red}{4.1 \times 10^{19}}$.

Answer 2

$$ \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{i}=n \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}=n H_n $$ If you have a look to this paper you will find sharp bounds for the harmonic numbers and, in particular, equation $(6)$ $$\frac{1}{2 n+\frac{1}{1-\gamma }-2} \leq H_n-\log(n)-\gamma \lt\frac{1}{2 n+\frac 13}$$ dando $$n \left(\frac{1}{2 n+\frac{1}{1-\gamma }-2}+\log (n)+\gamma \right)\leq nH_n \lt n \left(\frac{1}{2 n+\frac{1}{3}}+\log (n)+\gamma \right)$$

La diferencia de los límites es $$\Delta=\frac{(4-7 \gamma ) n}{(2 \gamma (n-1)-2 n+1) (6 n+1)}$$ and, for $n=10^{18}$, $\Delta\aprox 8.0\times 10^{-21}$ (muy pequeño !).

Así, por $n=10^{18}$, la suma es $\approx 4.202375\times 10^{19}$ .

De hecho, la configuración de $n=10^k$, se debe notar que $\Delta_k\approx 8.0\times 10^{-(k+3)}$ para cualquier valor de $k$.

Esto le da a usted, espero que, no sólo muy fuerte límites, pero también muy precisa de los valores.

Editar

En esta más reciente de papel, dan $$-\frac{1}{12 n^2+\frac{2 (7-12 \gamma )}{2 \gamma -1}}\leq H_n-\log(n)-\frac 1{2n} <-\frac{1}{12 n^2+\frac{6}{5}}$$ which, for $nH_n$ makes the difference of the bounds to be $$\Delta=\frac{(33 \gamma -19) n}{3 \left(10 n^2+1\right) \left(-6 n^2+12 \gamma \left(n^2-1\right)+7\right)}$$ and, for $n=10^{18}$, $\Delta\aprox 1.7\times 10^{-57}$.

Ajuste de nuevo $n=10^k$, se debe notar que $\Delta_k\approx 1.7\times 10^{-3(k+3)}$ para cualquier valor de $k$.

Answer 3

Siguiente es un cálculo muy simple.

Para todos los $n>1$, $$\dfrac{n}{1} +\cdots+ \dfrac{n}{n}=n\sum\limits{i=1}^n\frac{1}{i}\le n\int{1}^n\frac{1}{x}~dx=n\ln n.$ $

Desde $n

$$\dfrac{n}{1} +\cdots+ \dfrac{n}{n}