Evaluación de la integral de contorno sin utilizar el teorema del residuo

Question

Encuentra el valor de la integración sin usar la integral de Cauchy fórmula de Cauchy/teorema de Residuo:

$\int_{C}\cfrac{dz}{z^2+1}$ donde C es un contorno cerrado simple orientado en sentido contrario a las agujas del reloj que contiene z = i como punto interior y también C se encuentra en el interior del círculo $|z-i| = \cfrac{1}{2}$ .

Ahora, traté de resolverlo de esta manera:

$\int_{C}\cfrac{dz}{z^2+1}$ = $\int_{C}\cfrac{dz}{(z+i)(z-i)}$ = $\cfrac{i}{2}(\int_{C}\cfrac{dz}{z+i} - \int_{C}\cfrac{dz}{z-i})$

Estaba pensando en utilizar el hecho de que ambas integrales dentro de los paréntesis serían iguales a $\pi i$ pero no estoy seguro de ello.

¿Puede alguien darme una pista para resolver esta pregunta?

Gracias

Answer 1

Otro enfoque para evaluar la integral apelando a la Fórmula Integral de Cauchy o al Teorema del Residuo se basa en el Teorema de Cauchy.

Si $f(z)$ analítica dentro de una región abierta (simplemente conectada) en el plano complejo, entonces para cualquier contorno (con longitud finita) $C$ contenida en esa región abierta,

$$\oint_C f(z) dz=0$$

Ahora, en el problema que nos ocupa, $f(z)$ no es analítica en la región rodeada por $C$ . Sin embargo, podemos evaluar la integral en un contorno "deformado" $C'$ que no encierra ninguna singularidad. Entonces,

$$\oint_{C'} f(z)dz=0$$

Si deformamos $C$ añadiendo un contorno de "ojo de cerradura" que "recorta" la singularidad con un pequeño círculo $\gamma$ de radio $\epsilon$ centrado en el punto singular, entonces

$$\oint_{C'} f(z)dz=\oint_C f(z)dz-\oint_{\gamma}f(z)dz=0$$

donde las contribuciones opuestas de las integraciones de la "longitud de la llave" se aniquilan entre sí.

Por lo tanto, esto redujo el problema a la evaluación de la integral sobre $\gamma$ . Para este problema,

$$\begin{align} \oint_{\gamma}f(z) dz&=\lim_{\epsilon \to 0}\left(\int_0^{2\pi}\frac{i\epsilon e^{i\phi}d\phi}{(i+\epsilon e^{i\phi})^2+1}\right)\\\\ &=\lim_{\epsilon \to 0}\left(\int_0^{2\pi}\frac{i\epsilon e^{i\phi}d\phi}{2i\epsilon e^{i\phi}+\epsilon^2 e^{i2\phi}}\right)\\\\ &=\pi \end{align}$$

Answer 2

No es cierto que ambas integrales sean $\pi i$ . El círculo de integración encierra $i$ pero no encierra $-i$ . Así que $\frac{1}{z + i}$ es analítica dentro de un dominio abierto que contiene $C$ .