Demostrar que la serie es absolutamente convergente.

Question

La serie es$$\sum^\infty_{n=2} \frac{(-1)^n}{n(\ln(n))^3}$ $ Probé la prueba de proporción que no hizo nada. También probé la prueba de raíz que me dio$$\frac{-1}{\sqrt[n]{n}\cdot (\ln(n)^3-n)}$ $ que no creo que sea la correcta. ¿Es su otra prueba que puedo hacer para confirmar que esta serie es absolutamente convergente? Gracias por adelantado.

Answer 1

Insinuación:

¿Es convergente o divergente$$ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n \cdot \ln^3n} $ $? (Prueba de serie alternante)

¿$$ \sum_{n=2}^{\infty} \left |(-1)^n \frac{1}{n \cdot \ln^3n} \right |= \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln^3n} $$ convergent or divergent (Integral test, let $ u = \ ln x \ implica du = \ frac {1} {x} dx $?

Si las sumas anteriores son convergentes, entonces$$ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n \cdot \ln^3n} $ $ es absolutamente convergente.

Answer 2

$\textbf{Integral Test}$

PS

Deje$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^3} \ \ \ \text{converges} \iff \lim_{R\to \infty} \int_{2}^{R} \frac{1}{x(\ln(x))^3}\ \text{dx}\ \ \text{converges}$ ... (vaya de aquí!)

Answer 3

Sugerencia: convergencia Absoluta de $$ \sum_{n=1}^\infty a_n $$ es equivalente a la convergencia de $$ \sum_{n=1}^\infty|a_n| $$ Por lo tanto, la convergencia absoluta de la serie dada es equivalente a la convergencia de $$ \sum_{n=1}^\infty\frac1{n\log(n)^3} $$ Una buena prueba para probar cuando los registros están involucrados es la Prueba de Condensación de Cauchy. Esto significaría la prueba si $$ \sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n(n\log(2))^3} =\frac1{\log(2)^3}\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3} $$ converge.