¿Se sabe si todas las potencias principales $p^k$ con $k\ge 8$ ¿son abundantes en grupo?

Question

Denote el número de grupos de orden $n$ por $gnu(n)$ .

Un número natural $n\ge 1$ se llama grupo-abundante, si $gnu(n)>n$ , grupo-perfecto, si $gnu(n)=n$ y deficiente de grupo, si $gnu(n)<n$ .

Me pregunto, ¿qué poderes principales $p^k$ ( $p$ primo , $k\ge 1$ ) son grupo-abundante, grupo-perfecto y grupo-deficiente.

Podría resolver el caso $k\le 7$ utilizando completamente las funciones PORC de Higman.

Las únicas potencias primarias abundantes en grupo $p^k$ con $k\le 7$ son $2^5,2^6,2^7$ y $3^7$ Todos los demás poderes primarios son deficientes en grupo (no hay potencias primas perfectas en grupo para $k\le 7$ ):

Las cifras $2^8$ y $3^8$ son abundantes en grupo, así como $2^9,2^{10}$ y $2^{11}$ .

¿Se sabe si todas las potencias principales $p^k$ con $k\ge 8$ ¿son abundantes en grupo?

Answer 1

Según esta pregunta de math.SE el número de grupos de orden $p^k$ satisface $$ gnu(p^k) \geq p^{\frac{2}{27}k^2(k-6)}.$$ Rellenar $k \geq 8$ da $$ gnu(p^k) \geq p^{\frac{2}{27}k\cdot 8\cdot 2} > p^{k},$$ por lo que todas las potencias primarias $p^k$ con $k \geq 8$ son abundantes en grupo.