No es seguro que esta ayuda, pero mi primera reacción a esto es a integrar en coordenadas esféricas:
$$\int_{\mathbb{R}} \mathrm d^3 \mathbf p' \frac 1 {(\mathbf p - \mathbf p')^2} \frac 1 {(\mathbf p'^2+\alpha^2)^2} = 2 \pi \int_0^{\infty} dp \, \frac{p'^2}{(p'^2+\alpha^2)^2} \, \int_0^{\pi} d\theta \frac{\sin{\theta}}{p'^2+p^2-2 p p' \cos{\theta}}$$
La integral sobre la $\theta$ es relativamente sencillo a través de por ejemplo, subbing $u=\cos{\theta}$:
$$\int_0^{\pi} d\theta \frac{\sin{\theta}}{p'^2+p^2-2 p p' \cos{\theta}} = \frac{1}{2 p p'} \log{\left [\left (\frac{p'+p}{p'-p} \right )^2\right ]}$$
Entonces la integral es ahora una sola integral igual a
$$\frac{\pi}{p} \int_0^{\infty} dp \, \frac{p'}{(p'^2+\alpha^2)^2} \log{\left [\left (\frac{p'+p}{p'-p} \right )^2\right ]}$$
El integrando tiene una logarítmica de la singularidad en $p'=p$; mientras que este es integrable, va a causar un poco de dolor tras la integración por partes, como se va a revelar una integral que inherentemente no convergen:
$$2 \pi \int_0^{\infty} dp \, \frac{1}{p'^2+\alpha^2} \frac{1}{p^2-p'^2}$$
Voy a seguir a lo largo, sin embargo, suponiendo que estamos interesados en el valor principal de Cauchy. Establecimiento $p'=\alpha \tan{\phi}$, la integral se convierte en
$$\frac{2 \pi}{\alpha} \int_0^{\pi/2} \frac{d\phi}{p^2-\alpha^2 \tan^2{\phi}} $$
Usar la simetría para expresar esta integral en términos de una integral de contorno en el plano complejo a subbing $z=e^{i \phi}$:
$$\frac{-i \pi}{2 \alpha} \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z} \frac{(z^2+1)^2}{(p^2+\alpha^2) z^4+2 (p^2-\alpha^2) z^2 + (p^2+\alpha^2)}$$
Los polos de el integrando se a $z=0$$z=\pm(p\pm i \alpha)/\sqrt{p^2+\alpha^2}$. El último polos están en el círculo unidad, como se esperaba, pero debido a que estamos interesados en el Cauchy PV, se pueden deformar el círculo, de modo de evitar estos polos; las contribuciones de las deformaciones no contribuyen a la integral de contorno. Así que nos queda con la pole en $z=0$; el contorno integral es $i 2 \pi$ veces el residuo de el integrando en $z=0$, o
$$i 2 \pi \frac{-i \pi}{2 \alpha} \frac{1}{p^2+\alpha^2} = \frac{\pi^2}{\alpha (p^2+\alpha^2)}$$
como se afirmó.
