Probar que la normalización de la $A=k[X,Y]/(Y^2-X^2-X^3)$ $k[t]$ donde $t=Y/X$ (Reid, ejercicio 4.5)

Question

Este es un problema sobre la búsqueda de la normalización de un polinomio cociente del anillo. Así que tengo que encontrar la integral el cierre del anillo en su campo de fracciones. El enunciado del problema es como sigue:

Deje $A=k[X,Y]/(Y^2-X^2-X^3)$. Demostrar que la normalización de la $A$ $k[t]$ donde $t=Y/X$.

Puedo hacer esto mostrando que el campo de fracciones de $\text{Frac} A$ $A$ es igual a $k[t]$, y, posteriormente, mostrando que el campo de fracciones es normal? (Esto podría ser hecho mostrando que $k[t]$ es un UFD?)

Estoy perdido en el cálculo de/determinar el $\text{Frac}A$, o de manera similar, demostrando que $k[t]=\text{Frac}A$. También, ¿cómo puedo demostrar que es normal?

Espero que pueda ayudar!

Answer 1

Consejos.

• Considerar el $\varphi:K[X,Y]\to K[T]$ de $\varphi(X)=T^2-1$, $\varphi(Y)=T(T^2-1)$. Demostrar que $\ker\varphi=(Y^2-X^2-X^3)$.
• También tenemos $A\simeq\operatorname{Im}\varphi=K[T^2-1,T(T^2-1)]\subset K[T]$ y $T$ es integral $K[T^2-1,T(T^2-1)]$.