Necesito ayuda para imaginar la idea del grupo.

Question

Tengo una pregunta;

X e Y son subgrupos de un grupo G.

Si $|X|, |Y| < \infty$ , demuestran que

$|XY| = \frac{|X||Y|}{|X \cap Y|}$

pero no puedo imaginarme de qué está hablando ni siquiera para empezar.

¿Se trata de buscar diferentes formas de combinar los elementos {x, y, xy}?

Gracias

Answer 1

La cuestión es que si $z\in X\cap Y$ entonces se cuenta dos veces cuando se forma $XY$ Así que cuando se considera la cardinalidad de $|XY|$ debe eliminar una de estas ocurrencias. Haces los números, y resulta que cuando los quitas acabas con la fórmula que has dado. Para demostrar la fórmula, considera el mapa natural $f:X\times Y\rightarrow XY$ y elaborar su "núcleo".

Adenda: Como se ha pedido, incluiré algunos detalles más. Este detalle será básicamente la descripción de alguna tecnología y cómo aplicarla. La prueba es más ordenada con la tecnología.

La tecnología: Definir una relación de equivalencia sobre el conjunto $X\times Y$ de la siguiente manera: Establecer $(x_0, y_0)\sim (x_1, y_1)$ si y sólo si $x_0y_0=x_1y_1$ . Tenga en cuenta que $(x_0, y_0)\sim (x_1, y_1)$ equivale a $x_1^{-1}x_0=y_1y_0^{-1}$ . Por lo tanto, equivale a la existencia de un elemento $z\in X\cap Y$ tal que $(x_0z, z^{-1}y_0)=(x_1, y_1)$ . Denotemos la clase de equivalencia que contiene $(x, y)$ por $\widehat{(x, y)}$ .

Paso 1: Demostrar que cada clase de equivalencia $\widehat{(x, y)}$ tiene cardinalidad $|X\cap Y|$ .

Paso 2: Demostrar que el mapa $\frac{X\times Y}{\sim}\rightarrow XY$ , $\widehat{(x, y)}\mapsto xy$ está bien definida y es una biyección (nótese que ${X\times Y}/{\sim}$ denota el conjunto de clases de equivalencia de $X\times Y$ en $\sim$ ).

Paso 3: Concluya.

Answer 2

¿Puedo resumir algunos comentarios?

Cosets $xY$ (para $x \in X$ ) son disjuntos o iguales. Supongamos que $xY=x′Y$ . Sucede si y sólo si $x^{-1}x' \in Y$ o $x^{-1}x' \in X \cap Y$ (ya que $x,x' \in X$ ). Así que, $xY$ y $x′Y$ son disjuntos si $x$ y $x'$ son representantes de cosets distintos de $X$ por $X \cap Y$ . Y hay $|X|/|X \cap Y|$ tales cosets. Para cada coset hay elementos |Y| en $XY$ y la fórmula es la siguiente.

Answer 3

Por lo que sé, en este teorema se trata de eliminar las repeticiones al definir $XY$ .

Para simplificar, vamos a suponer que $X\cap Y = \phi$ . En este caso, el número total de combinaciones que obtendrá para los elementos en $XY$ es, $|X|\times |Y|$ (Para cada elemento de $Y$ Hay $|X|$ elementos en $X$ .

Ahora bien, si, hay $k$ elementos en $X\cap Y$ entonces $$\forall x \in X-(X \cap Y), \forall y \in Y-(X \cap Y), $$ Cada elemento $xy \in XY$ puede escribirse como $ xh_{1}h_{1}^{-1}y, xh_{2}h_{2}^{-1}y, xh_{3}h_{3}^{-1}y..., xh_{k}h_{k}^{-1}y$ , donde $h_{1}, h_{2}... h_{k} \in X \cap Y$ . Por lo tanto, para tener en cuenta estas repeticiones, lo dividimos por $|X \cap Y|$ .