¿Por qué asumir el denominador será aproximadamente el doble del numerador? Eso es como decir que $m\approx n$,que no tiene que ser verdadero. Seguro, usted podría calcular lo que el límite es al $m=n$, y va a ser $\tfrac12$, como se puede iterar límites, o usted podría pensar que el $n$ crece dos veces en rápida como $m$. Mientras $m\to \infty$, $n\to \infty$ también, pero por $m=100$ será $n=200$; si $m=500$$n=1000$; si $m=2\times 10^8$, $n=4\times 10^8$ ... y así sucesivamente.
Hacer los cálculos para cada par de números y verás que siempre ceden $\tfrac13$ como resultado de ello, por lo que parece bien a decir que como $m,n\to\infty$ mantener la relación $n=2m$ el límite es de $\tfrac13$, que se podría haber calculado la comprobación de que
$$\lim\limits_{n=2m} \frac m {m+n}=\lim_m \frac m {m+2m}=\lim_m \frac m {3m}=\lim_m \frac 13=\frac13.$$
Aún más: supongamos que $n$ crece mucho más rápido que $m$, a pesar de que ambos tienden a $\infty$, decir $n=m^2$ (de modo que cuando se $m$ alcanza $100$, $n$ se $10 000$, por ejemplo): ¿qué pasa ahora? Sería razonable decir que el $n$ gana en el largo plazo, por lo que el denominador será mucho más grande que el numerador y el límite será de cero de nuevo.
De todos modos, eso es sólo una intuición, se puede ver que
$$\lim\limits_{n=m^2} \frac m {m+n}=\lim_m \frac m {m+m^2}=\lim_m \frac 1 {1+m}=0.$$
La cosa es que por la fijación de una relación entre el $m$ $n$ viene de regreso a un límite con sólo una variable o índice, y entonces no habría nada nuevo. Aunque estos límites con restricciones son útiles muchas veces, por doble secuencias desea definir un concepto de límite que no se han de considerar cualquier particular o la ruta de la relación. Bueno, en este caso, que no será posible, ya que el cambio de la relación con el límite de cambios también es un valor.
Pero hay situaciones en las que la doble o simultánea límite bien definido (y yo no he tratado con la definición de límite, a sólo unos intuitiva argumentos). Considere la posibilidad de
$$\lim_{m,n} \frac 2m {m^2+nm}=\lim_{m,n} \frac 2 {m+n}=\cdots$$
Debido a que el numerador es constante, y el denominador tiende a infinito, no importa el 'velocidades relativas' de $m$$n$ -, entonces el límite tiene que ser cero (y es lo que sería capaz de demostrar el uso de la definición de límite). Usted puede incluso comprobar que el uso de las mismas relaciones como antes, y la iteración de los límites, todos dan también cero.
(IMPORTANTE: Pero esa última idea no funciona al revés, no totalmente, al menos: usted no tiene suficientes ejemplos de las relaciones entre el $m$ $n$ que hacen que el límite de llegar a cero, para asegurarse de que el doble límite es cero; hay infinidad de opciones y no siempre podría ser uno que no lo he probado y da una respuesta diferente; y si que pasó a ser el caso, lo que se puede afirmar es que el doble/simultáneo límite no existe).
