Problema de la convergencia dominada

Question

Tengo problemas para aplicar el teorema de convergencia dominada en la siguiente situación:

La tarea es mostrar que, para el $z\in\mathbb{R}$ % $ $$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \left(1-\frac{k}{n}\right)^{\lfloor n(\log{n}+z) \rfloor} \to e^{-e^{-z}} \text{ as } n \to \infty$

Ya he establecido que, para un fijo $k\geq 0$ % $ $$(-1)^k \binom{n}{k} \left(1-\frac{k}{n}\right)^{\lfloor n(\log{n}+z) \rfloor} \to \frac{(-e^{-z})^k}{k!} \text{ as } n \to \infty$

pero ahora no veo cómo justificar el cambio de límite usando dominado convergencia para concluir

$$ \lim{n\to \infty} \sum{k=0}^n (\dots) = \sum{k=0}^\infty \lim{n\to \infty} (\dots) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-e^{-z})^k}{k!} = e^{-e^{-z}}$$

Answer 1

Que $a_{n,k}:=(-1)^k \binom{n}{k} \left(1-\frac{k}{n}\right)^{\lfloor n(\log{n}+z) \rfloor}.$ tenemos que demostrar que cada $k$, podemos encontrar una constante $ck$ tal que para todos los $n$, $$|a{n,k}|\leqslant ck\mbox{ and }\sum{k=1}^{+\infty}ckk$ que\begin{align}|a{n,k}|&\leq \frac{n^k}{k!}\frac 1{1-\frac kn}\exp\left((n\log n+nx)\log\left(1-\frac kn\right)\right)\ &\leq \frac{n^k}{k!}(k+1)\exp\left(-\frac kn(n\log n+nx)\right)\ &=(k+1) \frac{n^k}{k!}\exp(-k\log n-kx)\ &=\frac{k+1}{k!}e^{-kx}. \end {alinee el}