Deje $\mathbb{F}_{q}$ ser el campo finito con $q$ elementos, donde $q$ es una fuente primaria de energía.
Deje $n \geq 1$ ser un número entero y considerar la posibilidad de $\mathbb{F}_{q^n}|\mathbb{F}_{q}$.
Hay un teorema que dice lo siguiente:
Teorema: siempre Hay un elemento $\alpha \in \mathbb{F}_{q^n}$ que es primitivo y lo normal en el $\mathbb{F}_{q}$.
Nos dicen que uno puede prescribir la norma y la traza de una primitiva y normal ( $\mathbb{F}_{q}$ ) el elemento $\alpha \in \mathbb{F}_{q^n}$ si, para cada $a,b \in \mathbb{F}_{q}^\ast$, $b$ primitiva, no es un primitivo y normal el elemento $\alpha \in \mathbb{F}_{q^n}$ tal que $Tr_{\mathbb{F}_{q^n}|\mathbb{F}_{q}}(\alpha) = a$$N_{\mathbb{F}_{q^n}|\mathbb{F}_{q}}(\alpha) = b$.
La suposición de que $a$ es no-cero es normal porque los elementos no cero de seguimiento y un elemento primitivo $\alpha \in \mathbb{F}_{q^n}$ debe tener la norma de un elemento primitivo de $\mathbb{F}_{q}$.
Mi punto es que el artículo que estoy leyendo afirma que si $n \leq 2$, $\alpha$ ya está prescrito por su traza y la norma, pero no puedo ver esto. Alguien me puede ayudar?
El caso de $\mathbb{F}_{q^2}|\mathbb{F}_{q}$ entonces tenemos $Tr(\alpha) = \alpha + \alpha^q$$N(\alpha) = \alpha^{q+1}$. No puedo ver por qué todos los valores posibles de la norma y de seguimiento en $\mathbb{F}_{q}$ primitivos normal de los elementos de $\mathbb{F}_{q^2}$.
Edit: estoy tratando de pensar que es un mínimo de polinomio. No es un hecho (no voy a demostrar aquí, pero es cierto): En $\mathbb{F}_{q^2} | \mathbb{F}_{q}$, cada elemento primitivo también es normal. Así, el polinomio mínimo de una primitiva normal elemento de $\mathbb{F}_{q^2}$ debe ser
$$X^2 -aX + b,$$ where $a = Tr(\alpha)$ and $b = N(\alpha)$. Still cannot see why every possible value for $N(\alpha)$ (any primitive element of $\mathbb{F}_{q}$) and $Tr(\alpha)$ (any non-zero element of $\mathbb{F}_{q}$), se puede lograr.
