La serie es: ∞∑n=1n∑k=11k(12n−1−12n)∞∑n=1n∑k=11k(12n−1−12n) Wolframalpha dice que su valor es 2log(2)−log2(2)2log(2)−log2(2) .
Sospecho que la serie log(2)=1−1/2+1/3−1/4+...log(2)=1−1/2+1/3−1/4+... puede estar relacionado con esta serie. Pero estoy atascado desde aquí.
Desde −log(1−x)=∑n≥1xnn−log(1−x)=∑n≥1xnn tenemos −log(1−x)1−x=∑n≥1Hnxn−log(1−x)1−x=∑n≥1Hnxn y
∑n≥1Hn(12n−1−12n)=∫10∑n≥1Hn(x2n−2−x2n−1)dx∑n≥1Hn(12n−1−12n)=∫10∑n≥1Hn(x2n−2−x2n−1)dx igual: ∫10−log(1−x2)x2(1+x)dx.∫10−log(1−x2)x2(1+x)dx. La última integral puede calcularse aprovechando la fórmula de reflexión para la dilogaritmo función.
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@Khosrotash ¿Cómo es que reescribir la serie constituye una "PISTA"?
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Hem, ¿dónde está la serie?
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