compruebe si $\mathbb{Z}[x]/(x-3)$ es un campo o no?

Question

Averiguar si el Cociente del anillo de $\mathbb{Z}[x]/(x-3)$ es un campo? Sé que $x-3$ es irreducible en a$\mathbb{Z}[x]$, pero más no sé.

Answer 1

El anillo homomorphism $\mathbb Z[x]\rightarrow \mathbb Z$ $x\mapsto 3$ es surjective con kernel $(x-3)$. Por lo tanto $\mathbb Z[x]/(x-3) \cong \mathbb Z$, que no es un campo.

Answer 2

No es un campo.

Usted puede pensar que el ser $x-3$ irreductible, el ideal de $(x-3)$ debe ser máxima y por lo tanto $\mathbb{Z}[x]/(x-3)$ sería un campo, ya que:

Dado un anillo conmutativo $R$ $I\subset R$ un ideal maximal, $R/I$ es siempre un campo.

Tristemente, esto es incorrecto. $\mathbb{Z}[x]$ no es un PID, y $f$ irreductible, no implica que $(f)$ es máxima.

De hecho, $(x-3)\subsetneq (2,x-3)\subsetneq\mathbb{Z}[x]$, por lo $(x-3)$ no puede ser un ideal maximal de a $\mathbb{Z}[x]$.

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Alternativamente, usted puede ver que el surjective anillo homomorphism $$\varphi:\mathbb{Z}[x]\longrightarrow \mathbb{Z}$$ $$f(x)\mapsto f(3)$$ da $\ker\varphi = (x-3)$$im\varphi = \mathbb{Z}$, lo $\mathbb{Z}[x]/(x-3) \simeq \mathbb{Z}$, que no es un campo.

Answer 3

Si $\psi :Z[x]\to S$ es un homomórfica surjection a un anillo de $S$, $\ker (\psi)=\{(x-3)f :f\in Z[x]\},$ $S=\{\psi (n):n\in Z\}$ porque $\forall f\in F[x]\;\exists g\in Z[x] \;\exists n\in Z\; (f=n+(x-3)g ).$ $\psi (n)\ne 0$ $n\in Z\backslash \{0\}$ lo contrario $n\in \ker (\psi).\;$$S$, no es un campo, más para algunos $n\in Z$ tendremos $\psi(1)=\psi (1)\psi (2)\psi (n)=\psi (2n)$, lo que implica la $0=\psi (1-2n)\ne 0.$