Al menos uno de $4$ números enteros es $0$.

Question

Me encontré con este interesante problema en mi trabajo, y suena así:

Deje $a, b, c, d\in\mathbb{Z}$ tal que $$ca-3bd=5$$ $$ad+bc=2$$ Demostrar que al menos uno de ellos es $0$.

He intentado (mediante la idea de que un cuadrado perfecto es no negativo) para multiplicar con $d$ la primera relación y, a continuación, con $c$ el segundo, y luego la primera a con $c$ la primera relación y, a continuación, con $d$ el segundo y sumar/restar he obtenido $$a(c^2+3d^2)=5c+6d$$ $$b(c^2+3d^2)=2c-5d$$ pero no ayuda mucho. ¿Cómo debo enfocar este problema?

Answer 1

Si $w=a+b\sqrt{-3}$$z=c+d\sqrt{-3}$, esto es decir $wz=5+2\sqrt{-3}.$

A continuación, $|w|^2|z|^2=\left|5+2\sqrt{-3}\right|^2=37.$

Pero $|w|^2=a^2+3b^2, |z|^2=c^2+3d^2.$

Así que usted realmente consigue que cualquiera de las $|w|^2=1$ o $|z^2|=1$, y, por tanto, que cualquiera de las $(a,b)=(\pm 1,0)$ o $(c,d)=(\pm 1,0).$

---

Si usted no desea utilizar números complejos, entonces usted puede probar directamente que:

$$(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)=(ac-3bd)^2+3(ad+bc)^2$$

Answer 2

Escribir la primera ecuación de (que tienes) como esta $$ac^2-5c+(3ad^2-6d)=0$$ desde esta ecuación de segundo grado en $c$ debe tener una solución que se ha $D\geq 0$, por lo que

$$ -12a^2d^2 +24ad +25\geq 0$$ escribir $x=ad\in \mathbb{Z}$, lo $$ 12x^2-24x-25\leq 0$$ así $$ 12 (x-1)^2= 12x^2-24x+12\leq 37$$ so $(x-1)^2\leq 3$ so $|x-1|\leq 1$ so $x\in \{0,1,2\}$.

$\bullet$ Si $x=0$ $ad =0$ y hemos terminado.

$\bullet$ Si $x=1$ $a=d=1$ o $a=d=-1$, entonces...

$\bullet$ Si $x=2$ $bc=0$ y hemos terminado.