L. Kronecker del teorema de secuencias y series: $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^na_kb_k=0$

Question

Suponga $\sum a_i$ es convergente la serie y $b_1,b_2,\dots$ es una divergente monótonamente creciente de la secuencia. ¿Cómo podemos ver que $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^na_kb_k=0$$

Intento: Hemos $$|\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^na_kb_k|=|\sum_{k=1}^n\frac{a_kb_k}{b_n}|\leq \sum_{k=1}^n|\frac{a_kb_k}{b_n}|\leq\sum_{k=1}^n|a_k|$$ since $b_k\leq b_n$ for $k\leq$n.

Esto no es aún suficiente para afirmar que la secuencia converge. ¿Cómo podemos ver que su límite es cero?

Answer 1

Deje $R_n = \sum_{k=n}^\infty a_k$. Entonces

$$\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n (R_k - R_{k+1})b_k = \sum_{k=1}^n R_k b_k - \sum_{k=2}^{n+1} R_kb_{k-1} = R_1b_1 - R_{n+1}b_n + \sum_{k=2}^n R_k(b_k - b_{k-1}).$$

Así, desde la $b_k$ es monótonamente creciente,

$$\left\lvert \frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^n a_kb_k\right\rvert \leqslant \frac{\lvert R_1b_1\rvert}{\lvert b_n\rvert} + \lvert R_{n+1}\rvert + R\frac{b_m - b_1}{\lvert b_n\rvert} + S_m\frac{b_n-b_m}{\lvert b_n\rvert},$$

donde$R = \sup \{\lvert R_k\rvert : k \in \mathbb{N}\}$$S_m = \sup \{ \lvert R_k\rvert : k \geqslant m\}$.

Ahora desde $R_n \to 0$, también tenemos $S_n \to 0$, por lo tanto podemos hacer el segundo y cuarto términos pequeña eligiendo $m$ suficientemente grandes, y luego la primera y la tercera por la elección de $n > m$ lo suficientemente grande.

Más precisamente, vamos a $m_0$ tal que $b_{m_0} \geqslant \lvert b_1\rvert$. Entonces, para $m \geqslant m_0$ tenemos $\frac{b_m-b_1}{b_n} \leqslant \frac{2 b_m}{b_n}$ $0\leqslant \frac{b_n-b_m}{b_n} \leqslant 1$ todos los $n \geqslant m$, por lo que

$$\left\lvert \frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^n a_kb_k\right\rvert \leqslant R\frac{\lvert b_1\rvert + 2 b_m}{b_n} + 2 S_m \leqslant R\frac{3b_m}{b_n} + 2S_m$$

para todos los $n \geqslant m \geqslant m_0$. Elija $m$, de modo que $S_m < \frac{\varepsilon}{4}$, e $n\geqslant m$ tan grande que $\frac{3b_m}{b_n} < \frac{\varepsilon}{4R}$.

Answer 2

Esta es una (larga) comentario en lugar de una respuesta, para indicar por qué Daniel responder a las necesidades de las complicaciones que presenta. Puede ayudar a aclarar por qué se procede como lo hace.

Si el $a_i$ $b_i$ son positivas, usted está casi allí. Por lo general en el análisis, de dividir las sumas de dinero que desee analizar en dos pedazos, uno cerca de el cero y el uno cerca del infinito, y la estimación de ambas piezas por separado.

Dado $n_0<n$, tenemos que $$ S_n:=\frac1{b_n}\sum_{k=1}^n a_k b_k = \left(\sum_{k=1}^{n_0}\frac{a_k b_k}{b_n}\right)+\left(\sum_{k=n_0+1}^{n}\frac{a_k b_k}{b_n}\right). $$

Ahora, para probar el resultado, fix $\epsilon>0$. Tenemos que demostrar que no es $N$ que si $n\ge N$,$S_n<\epsilon$. Comenzar por recoger $n_0$ lo suficientemente grande como para que todos los $n>n_0$,$\sum_{k=n_0+1}^{n} a_k <\epsilon/2$, lo cual es posible ya que la serie de la $a_i$ converge.

Ahora, con $n_0$ fijo como en el anterior, pick $N$ lo suficientemente grandes como para cualquier $n\ge N$, tenemos $$ \frac{b_{n_0}}{b_n}<\frac{\epsilon}{2(\sum_{k=1}^{n_0} a_k)}. $$ Esto es posible desde la $n_0$ es fijo y el $b_i$ de aumento unboundedly.

Ahora, podemos ver que para $n\ge N$ hemos $$ \sum_{k=1}^{n_0}\frac{a_k b_k}{b_n}\le \sum_{k=1}^{n_0}\frac{a_k b_{n_0}}{b_n}<\frac{\epsilon}2, $$ mientras $$ \sum_{k=n_0+1}^{n}\frac{a_k b_k}{b_n}\le \sum_{k=n_0+1}^{n}a_k<\frac{\epsilon}2, $$ y llegamos a la conclusión de que $S_n<\epsilon$, como quería.

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Si el $a_i$ $b_i$ son sólo supone no negativo, el mismo argumento funciona con dos pequeños cambios: en Primer lugar, asegúrese de que $n_0$ es lo suficientemente grande como $b_{n_0}>0$ y, segundo, reemplazar $$ \frac{\epsilon}{2(\sum_{k=1}^{n_0} a_k)} $$ with $$ \frac{\epsilon}{2(1+\sum_{k=1}^{n_0} a_k)}, $$ para asegurarse de que el denominador es distinto de cero.

Si el $a_i$ no se supone no negativo, se necesita más trabajo, y es aquí que el enfoque simple es hallado falto.

Ahora debemos demostrar que $|S_n|<\epsilon$. Tenemos que $$ |S_n|= \left|\left(\sum_{k=1}^{n_0}\frac{a_k b_k}{b_n}\right)+\left(\sum_{k=n_0+1}^{n}\frac{a_k b_k}{b_n}\right)\right|\le\left|\sum_{k=1}^{n_0}\frac{a_k b_k}{b_n}\right|+\left|\sum_{k=n_0+1}^{n}\frac{a_k b_k}{b_n}\right|.$$

Primero, $$ \left|\sum_{k=1}^{n_0}\frac{a_k b_k}{b_n}\right|\le\sum_{k=1}^{n_0}\frac{|a_k| |b_k|}{b_n} $$ can be estimated essentially as before. Now we can require that $n_0$ is large enough that $b_{n_0}>0$ and $b_{n_0}=\max\{|b_i|:i\le n_0\}$. Also, we let $N>n_0$ be large enough that if $n\ge$ N, entonces $$ \frac {b_{n_0}}{b_n}<\frac{\epsilon}{2(1+\sum_{k=1}^{n_0} |a_k|)}. $$

El verdadero problema viene con la segunda suma, $$ \left|\sum_{k=n_0+1}^{n}\frac{a_k b_k}{b_n}\right|, $$ which before was the easy one to estimate. Now we cannot use the same argument, since the $a_i$ are not necessarily positive, so we cannot appeal to monotonicity in the same way. Of course, we cannot assume the series of $a_i$ converges absolutely, so we cannot replace the $a_i$ with $|a_i|$ to proceed as before. Really, a different idea is needed here. We need to appeal to the monotonicity of the $b_i$, and to use that the sum $\sum_i a_i$ converges, but keeping the terms the way we have here, in quotients $a_ib_i/b_n$ no va a funcionar por más tiempo.

En este punto puede ser natural intentar "separado de" las dos expresiones, y el evidente intento de hacer esto es a través de la suma por partes, lo que termina llevando a Daniel del argumento.