¿Por qué es esta función continua, a diferencia de la función de Dirichlet?

Question

Mi maestro nos mostró esta función y nos dijo que era continuo en todos los no-$\mathbb{Q}$ puntos de:

$$ f(x) = \begin{cases} x & \text{ if } x\in\mathbb{Q} \\\\ 0 & \text{ if }x\notin\mathbb{Q} \end{casos} $$

Sin embargo, Wolfram MathWorld dice que la función de Dirichlet, que es muy similar, es discontinua en todos los puntos. ¿Por qué es continua y la otra no?

Answer 1

Tal vez su maestro significaba Thomae de la funciónque es continua en todos los números irracionales y discontinua en todos los números racionales.

Answer 2

Su profesor está equivocado. En cada barrio de cualquier número real contiene a la vez racionales y no racionales puntos, por lo que la función es continua en 0.

Más específicamente, deje $\alpha$ ser positivo número irracional (en particular,$\alpha\ne0$, y el argumento negativo irrationals es casi el mismo). Vamos a ver si $f$ es continua en a $\alpha$. Para que esto se sostenga, a continuación, para cada $\epsilon>0$ debe haber un $\delta$ tal que $$ |x-\alpha|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(\alpha)|<\epsilon $$ Desde $f(\alpha)=0$, la mano derecha de esto es equivalente a $|f(x)|<\epsilon$.

Como voy a demostrar que $f$ es no continua en $\alpha$, tengo el derecho de seleccionar a $\epsilon$, y luego debo demostrar que hay no $\delta$ que trabaja para él. Elijo $\epsilon=\alpha/2$. Ahora, para cada posible positivos $\delta$, el intervalo de $(\alpha, \alpha+\delta)$ es abierto y por lo tanto contiene al menos un número racional, que podemos llamar de $R$. A continuación, ajuste de $x=R$ obtenemos $|R-\alpha|<\delta$ (por construcción), sino $|f(R)|=R>\alpha$ es ciertamente mayor que $\epsilon$$\alpha/2$. Por lo tanto, $\delta$ no puede trabajar, como se había prometido.

Answer 3

Como otras respuestas han Henning la respuesta ha explicado ya, que su maestro está mal. Sin embargo, mi conjetura es que él estaba confuso de su función esta relacionada con: $$ f(x) = \begin{cases} 0, &\text{ if %#%#% is irrational}, \\ 1/b, &\text{ if %#%#% with %#%#%}. \end{casos} $$ Esta función tiene la propiedad de que es continua en todo irracional puntos, y discontinua en los racionales.

Fuente: Vistazo a la "modificación de Dirichlet de la función" $x$ en el Mathworld artículo sobre la función de Dirichlet.

Edit: resulta que @lhf publicado la misma respuesta de forma independiente, pero los enlaces a la página de Wikipedia de la función: haga clic aquí.

Terminología: acabo de enterarme de¹ que esta función es generalmente llamado Thomae de la función, y no la modificación de la función de Dirichlet. He conocido este ejemplo por algún tiempo, pero no por un nombre específico. Listas de Wikipedia un número de otros nombres interesantes como: la definición de la integral de la función, la función de palomitas de maíz, las Estrellas sobre Babilonia, la función de las gotas de lluvia, y la regla de la función.

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¹En el post ¿qué funciones o clases de funciones Riemann no integrable pero Lebesgue integrable, Hans Lundmark comentario (debajo de Jonas Meyer respuesta) le da el nombre de la función y el enlace de wikipedia. Gracias a Theo Buehler por compartir el post.