Pregunta acerca lineal acotado a los operadores en espacios de Banach.

Question

Deje $T:X\to Y$ lineal acotado operador entre espacios de Banach. Deje $U$ un barrio de $0\in Y$, $t\in(0,1)$ y supongamos que $\forall u\in U$ $\exists \bar x\in X$ con $\|\bar x\|\le1$ $\bar u\in U$ tal que $$u=T\bar x +t\bar u.$$ Entonces si me tome $u\in U$, puedo escribir
$$u=T\left(\sum_{i=0}^{\infty} t^ix_i\right), \ \ \ \|x_i\|\le1$$ and that series has sense since $$\|\sum_{i=0}^{\infty} t^ix_i\|\le \sum_{i=0}^{\infty} t^i=C<+\infty.$$

De esta manera puedo obtener ese $$U\subset T\left(B_X(0,C)\right).$$

Es correcto?

Answer 1

Para cada una de las $u\in U$, hay alguna secuencia $(x_n)_{n\geq 0}\subset X$$\lVert x_i\rVert\leq 1$, y alguna secuencia $(u_n)_{n\geq 0}\subset U$ con

$$u_n=Tx_{n}+t\cdot u_{n+1},$$

donde $u=u_0$. Entonces:

\begin{align} u=u_0 &=Tx_0+t\cdot u_1&& =T\left(\sum_{i=0}^0t^{i}x_i\right)+t^1\cdot u_1\\ &=Tx_0+t\cdot \left(Tx_1+t\cdot u_2\right)&& =T\left(\sum_{i=0}^1t^{i}x_i\right)+t^2\cdot u_2\\ &=T\left(\sum_{i=0}^1t^{i}x_i\right)+t^2\left(Tx_2+t\cdot u_3\right)&& =T\left(\sum_{i=0}^2t^{i}x_i\right)+t^3\cdot u_3\\ &= \dots\,, \end{align}

y, más en general, para cada una de las $k\in\mathbb N$ vamos a tener

$$u=T\left(\sum_{i=0}^kt^{i}x_i\right)+t^{k+1}\cdot u_{k+1}.$$

Esto no bastante implica que $u=T\left(\sum_{i=0}^{\infty}t^{i}x_i\right)$. De hecho, esto ocurre si y sólo si

$$\lim_{k\to\infty} \left\lVert u-T\left(\sum_{i=0}^kt^{i}x_i\right) \right\rVert =\lim_{k\to\infty} \left\lVert t^{k+1}\cdot u_{k+1}\right\rVert= \lim_{k\to\infty} t^k\,\lVert u_k\rVert $$

es igual a $0$. No es claro para mí que esto sucede por la hipótesis.