¿Por qué es cualquier factor principal de $(3)$ también un primer factor de $(2 + \sqrt[3]{19})$ en el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{19})$

Question

Estoy leyendo esto de propaganda, de K. Conrad expositiva notas sobre el conductor ideal: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/gradnumthy/conductor.pdf

En la página 3 (ejemplo 2.3) muestra el $(2 + \root 3 \of{19})$ norma $3^3 = 27$ y $(-1 + \root 3 \of{19})$ norma $2 \times 3^2 = 18$, y luego se establece que cualquier factor principal de $(3)$ es un factor de $(2 + \root 3 \of{19})$$(-1 + \root 3 \of{19})$.

Por supuesto, si un primer factor de $(3)$ divide cualquiera de estos ideales, se divide el otro también desde sus generadores tienen una diferencia de 3. Pero no estoy seguro de por qué un divisor primo de $(3)$ necesariamente divide cualquiera de los dos ideales. Claramente $3$ sí no dividir porque $\frac{2 + \root 3 \of{19}}{3}$ no es un entero algebraico.

Sospecho que debe tener algo que ver con la norma de $(2 + \root 3 \of{19})$ ser una potencia de $3$, pero tal vez me estoy perdiendo algo que es obvio y no se puede averiguar lo que está pasando aquí.

Answer 1

Después de un poco de experimentación, me di cuenta de que $$ (2 + \sqrt[3]{19})(-1 + \sqrt[3]{19})^2 = 3 \times (7 - \sqrt[3]{19}).$$ Por lo $(3)$ divide $(2 + \sqrt[3]{19})(-1 + \sqrt[3]{19})(-1+\sqrt[3]{19})$.

Por lo tanto, cualquier primer ideal $\mathfrak p$ que divide $(3)$ debe dividir al menos uno de $(2 + \sqrt[3]{19})$ o $(-1 + \sqrt[3]{19})$.

Pero como usted ha señalado, la diferencia entre el$2 + \sqrt[3]{19}$$-1 + \sqrt[3]{19}$$3$, de modo que cada una de dichas $\mathfrak p$ realidad se divide $(2 + \sqrt[3]{19})$$(-1 + \sqrt[3]{19})$.

Answer 2

Es precisamente debido al hecho de que $27$ es la norma de la $\alpha=2+\sqrt[3]{19}$.

De esto se sigue que si $\mathfrak p$ divide $\alpha$, la norma de $\mathfrak p$ debe ser $3$, $9$, o $27$ (la última es excluido porque has comprobado que $\alpha/3$ no es integral). Pero el único de los números primos con la norma de un poder de $3$ son divisores de $3$.