Puede un espacio vectorial sobre campo finito ser escrito como la unión de un número finito de una adecuada subespacios?

Question

Recientemente, he resuelto un problema que dice-
Si $V$ es un espacio vectorial sobre un infinito campo. Probar que V no puede ser escrito como set-thoretic de la unión de un número finito de una adecuada subespacios.
Pero este resultado true en el caso de campo finito?
. Yo no puedo conseguir un ejemplo en el que un espacio vectorial sobre campo finito puede ser escrito como la unión de un número finito de una adecuada subespacios.
¿Alguien puede dar un ejemplo? Gracias por la ayuda por adelantado.

Answer 1

La respuesta es sí; si $V$ es un espacio vectorial finito (por lo que más de un campo finito y de dimensión finita), entonces tiene sólo un número finito de elementos. Deje $\langle v\rangle$ denotar el lapso de un vector $v\in V$. Entonces claramente $$V=\bigcup_{v\in V}\langle v\rangle,$$ debido a $v\in\langle v\rangle$ por cada $v\in V$, y la unión es finito porque $V$ es finito. Por lo tanto $V$ es la unión de un número finito de adecuada subespacios (si $\dim V>1$, de lo contrario los subespacios no son adecuados).

Para un ejemplo concreto, considere la posibilidad de $\Bbb{F}_2^2$, $2$-dimensional espacio vectorial sobre el campo finito $\Bbb{F}_2$ de dos elementos. Entonces $$\begin{eqnarray*} \Bbb{F}_2^2&=&\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}\\ \bigcup_{v\in\Bbb{F}_2^2}\langle v\rangle&=&\{(0,0)\}\cup\{(0,0),(1,0)\}\cup\{(0,0),(0,1)\}\cup\{(0,0),(1,1)\}. \end{eqnarray*}$$

Answer 2

A mí me parece que el caso de un infinito espacio tridimensional es la creación de dolor de cabeza extra. La ortografía de un ejemplo para mostrar lo que se puede hacer.

En el campo $\Bbb{F}_2$. Deje $V=\Bbb{F}_2[x]$ ser el espacio de polinomios univariados. Deje $U$ ser el subespacio de los polinomios con cero constante y términos lineales. Considere las siguientes tres subespacios de $V$: $$V_1=\langle 1\rangle\oplus U=\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n\mediados n\in\Bbb{N}, a_i\en\Bbb{F}_2, a_1=0\},$$ $$V_2=\langle x\rangle\oplus U=\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n\mediados n\in\Bbb{N}, a_i\en\Bbb{F}_2, a_0=0\},$$ y $$V_3=\langle 1+x\rangle\oplus U=\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n\mediados n\in\Bbb{N}, a_i\en\Bbb{F}_2, a_0=a_1\}.$$ Está claro que cada polinomio de $V$ pertenece al menos a uno de los subespacios $V_1,V_2,V_3$ de acuerdo a lo que su constante y lineal términos parecen. Por lo tanto $$V=V_1\cup V_2\cup V_3.$$

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¿Qué ha sucedido?

Considerar el cociente del espacio de $V/U$. Es de 2 dimensiones. Su no-cero elementos son los cosets $1+U,x+U$ e $1+x+U$. Así que podemos escribir la $V/U$ como una unión de tres 1-dimensiones de los subespacios siguiendo la receta de Servaes respuesta de cada atravesado por uno de los cosets. El resultado subespacios son exactamente los espacios de $V_i/U, i=1,2,3$. No es de extrañar que $V_1,V_2,V_3$ cubrir todos los de $V$!