Demostrar que $M_n(\mathbb{Z})$ es libre de torsión.

Question

Supongamos que $M_n(\mathbb{Z})$ es un anillo de matrices con entradas enteras. Demuestra que $M_n(\mathbb{Z})$ es libre de torsión.

Mi intento: Sea $A \in Tor(M_n(\mathbb{Z}))$. Entonces, existe un número entero no nulo $r$ tal que $rA=0$, donde $o$ representa la matriz cero. Dado que $A$ tiene entradas enteras y $r \neq 0$, la única forma de obtener la matriz cero es cuando $A=0$. Por lo tanto, $Tor(M_n(\mathbb{Z})) \subset \lbrace 0 \rbrace.

Claramente $\lbrace 0\rbrace \subset Tor(M_n(\mathbb{Z}))$. Por lo tanto, $M_n(\mathbb{Z})$ es libre de torsión.

¿Es correcta mi demostración?

Observación: Disculpa por la confusión generada. La pregunta es la siguiente: 'Demuestra que $M_n(\mathbb{Z})$ es libre de torsión sobre el anillo $\mathbb{Z}$'.

Answer 1

Su prueba carece del argumento esencial. Usted escribe "la única forma de ... es cuando $A=0$", ¿pero por qué?

Cualquier módulo libre sobre un dominio es libre de torsión, y las matrices constituyen un módulo libre.