inadecuado integral de convergencia de la prueba

Question

¿la siguiente integral converge para todos los $p$?

$$\int_1^\infty e^{-x}x^p\mathrm dx$$

Creo que converge para todos los $p$, ya que la exponencial decae más rápido que el polinomio. Pero no me parece para formar una secuencia de desigualdades para demostrar que la integral converge.

Answer 1

Desde exponenciales caen más rápido que los poderes pueden crecer, $e^{-x/2}x^p$ está delimitado por algunos $M>0$$[1,\infty)$, y por lo tanto $$\int_1^\infty e^{-x/2}(e^{-x/2}x^p)dx\leq M\int_1^\infty e^{-x/2}dx<\infty. $$

Answer 2

También podemos obtener el resultado de la siguiente manera.

Deje $n$ ser un entero positivo tal que $n-p > 1$. Para cualquier $x\geq 1$, se desprende $e^x > \frac{{x^n }}{{n!}}$ (recordemos que $e^x = \sum\nolimits_{n = 0}^\infty {\frac{{x^n }}{{n!}}}$) que $$ e^{ - x} x^p < \frac{{n!}}{{x^{n - p} }}. $$ Desde $\int_1^\infty {\frac{n!}{{x^{n - p} }}\,dx}$ converge, lo hace $\int_1^\infty {e^{ - x} x^p \,dx} $.

Answer 3

Use integración por partes para relacionar su integral a la con $p$ reemplazados con $p-1$. Repita hasta que el exponente es negativo, luego comparar con el caso de $p=0$.