La integración de Exponenciales y Logaritmos, $\int_{z-1}^z \log(\frac{1}{z-y}) \exp (-| y| ^{3}) \, dy$

Question

La integral estoy tratando es:

$$\frac{3}{2 \Gamma \left(\frac{1}{3}\right)}\int_{z-1}^z \log \left(\frac{1}{z-y}\right) \exp \left(-\left| y\right| ^{3}\right) \, dy$$

donde $z\in \mathbb{R}$

Debido a su complejidad, traté de Mathematica para resolver la integral. Le dio la espalda de la misma forma. ¿Significa eso que no se puede resolver? O hay otros métodos para resolver este tipo de complejos integrales? Un manual?

Answer 1

Asumiendo $z\geq 1$, tenemos: $$ \int_{z-1}^{z}\log\left(\frac{1}{z-y}\right) e^{-y^3}\,dy = -\frac{d}{d\alpha}\left.\int_{z-1}^{z}(z-y)^{\alpha}e^{-y^3}\,dy\,\right|_{\alpha=0} $$ por lo tanto el original de la integral depende de los derivados de la gamma incompleta funciones.