Encontrar la solución general de la ecuación diferencial $x^3y^{'''}+x^2y^{''}+3xy^{'}-8y=0$

Question

Encontrar la solución general de la ecuación diferencial $x^3y^{'''}+x^2y^{''}+3xy^{'}-8y=0$

Esta es la ecuación diferencial de Euler que se puede resolver por sustitución de $x=e^t$. No entiendo las siguientes relaciones diferenciales:

$$xy^{'}=x\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} $$ $$x^2y^{"}=x^2\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{d}{dt}-1\right)y $$ $$x^3y^{"'}=x^3\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{d}{dt}\left(\frac{d}{dt}-1\right)\left(\frac{d}{dt}-2\right)y $$

Cómo evaluar estas relaciones?

A partir de aquí, es fácil resolver la ecuación, que es homogénea con coeficientes constantes.

Solución General es $y=c_1e^{2\ln x}+c_2e^{-i2\ln x}+c_3e^{i2\ln x}$

Answer 1

SUGERENCIA:

$$x^3y'''(x)+x^2y''(x)+3xy'(x)-8y(x)=0\Longleftrightarrow$$ $$x^3\cdot\frac{\text{d}^3y(x)}{\text(d)x^3}+x^2\cdot\frac{\text{d}^2y(x)}{\text(d)x^2}+3x\cdot\frac{\text{d}y(x)}{\text(d)x}-8y(x)=0\Longleftrightarrow$$

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Suponer que la solución va a ser proporcional a $x^{\lambda}$ para algunas constantes $\lambda$. Sustituto $y(x)=x^{\lambda}$:

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$$x^3\cdot\frac{\text{d}^3x^{\lambda}}{\text(d)x^3}+x^2\cdot\frac{\text{d}^2x^{\lambda}}{\text(d)x^2}+3x\cdot\frac{\text{d}x^{\lambda}}{\text(d)x}-8x^{\lambda}=0\Longleftrightarrow$$

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Sustituto $\frac{\text{d}x^{\lambda}}{\text{d}x}=\lambda x^{\lambda-1}$:

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$$\lambda^3x^{\lambda}-2\lambda^2x^{\lambda}+4\lambda x^{\lambda}-8x^{\lambda}=0\Longleftrightarrow$$ $$x^{\lambda}\left(\lambda^3-2\lambda^2+4\lambda-8\right)=0\Longleftrightarrow$$

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Asumiendo $x\ne 0$, los ceros deben venir desde el polinomio:

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$$\lambda^3-2\lambda^2+4\lambda-8=0\Longleftrightarrow$$ $$\left(\lambda-2\right)\left(\lambda^2+4\right)=0$$

Answer 2

SU llamado cauchys ecuación .lo que hicimos fue lo correcto ..

PONER D como el nuevo d/dt luego la forma de la ecuación auxiliar .sove . LA ecuación será de la forma

(D^3-2D^2+4D-8)y=0 donde D=d/dt x=e^(t)

QUE da D=2,0±2i