Estoy tratando de entender la prueba de consistencia fuerte de distancia de la covarianza en espacios métricos (Proposición 2.6 Distancia de covarianza en la métrica de los espacios por parte de Russel Lyons publicado en Los Anales de la Probabilidad).
Deje $(\mathcal{X},d_1)$ $(\mathcal{Y},d_2)$ dos espacios métricos y $((X_k,Y_k))_{k\in\mathbb{N}}$ ser un yo.yo.d secuencia de elementos aleatorios con valores en $\mathcal{X}\times \mathcal{Y}$ tal que $$ Ed_1(X_1,x')<\infty \quad \quad \quad \quad Ed_2(Y_1,y')<\infty, $$ para cualquier $x'\in \mathcal{X}$$y'\in\mathcal{Y} $. La distancia covarianza $dcov(X,Y)$ está dado por $$ dcov(X,Y) = Eh((X_{1},Y_1),...,(X_6,Y_6)), $$ donde \begin{align*} h((x_{1},y_1),...,(x_6,y_6))=&f_1(x_1,x_2,x_3,x_4)f_2(y_1,y_2,y_5,y_6) ,\\ \end{align*} y $$ f_i(z_1,z_2,z_3,z_4) =d_i(z_1,z_2)-d_i(z_1,z_3)-d_i(z_2,z_4)+d_i(z_3,z_4). $$ El emperical distancia de covarianza por lo tanto se convierte en un $V$-estadística (en general) no simétricas kernel $h$ grado $6$, es decir, $$ dcov_n(X,Y) = \frac{1}{n^6} \sum_{i_1=1}^n \cdots \sum_{i_6=1}^n h((X_{i_1},Y_{i_1}),...,(X_{i_6},Y_{i_6})). $$ Ahora se afirma sin referencia a un SLLN que $dcov_n(X,Y) \to dcov(X,Y)$ casi seguramente.
Problema: Las peores condiciones para SLLN para $V$-estadísticas sé exigir que
El kernel $h$ es simétrica y \begin{align*} E| h((X_{i_1},Y_{i_1}),...,(X_{i_6},Y_{i_6}))|^{\frac{\#\{i_1,...,i_6\}}{6}} < \infty, \end{align*} para $1 \leq i_1 \leq \cdots \leq i_6 \leq 6$.
Así que mi enfoque era para hacerles $\tilde{h}$ ser el simétrico de la versión de $h$: $$\tilde{h}((x_1,y_1),...,(x_6,y_6))=\frac{1}{6!} \sum_{\sigma\in \Pi_6} h((x_{\sigma(1)},y_{\sigma(1)}),...,(x_{\sigma(6)},y_{\sigma(6)})),$$ donde $\Pi_6$ es el conjunto de todas las permutaciones en $\{1,...,6\}$. A continuación, las condiciones anteriores de la SLLN reduce a \begin{align*} E| h((X_{i_1},Y_{i_1}),...,(X_{i_6},Y_{i_6}))|^{\frac{\#\{i_1,...,i_6\}}{6}} < \infty, \end{align*} para todos los $(i_1,...,i_6)\in \{1,...,6\}^6$.
La única manera (que yo vea) podemos crear límites superiores para $h$ es por la desigualdad de triángulo, lo que equivale a las siguientes desigualdades (la supresión de la $i$ índice en la métrica)
\begin{align} \frac{|f_i(z_1,z_2,z_3,z_4)|}{2}\leq \left\{ \begin{array}{lll} d(z_1,z_4), & d(z_2,z_3), & d(z_1,z_2) \lor d(z_1,z_3), \\ d(z_1,z_2) \lor d(z_1,z_4), & d(z_1,z_2) \lor d(z_2,z_3), & d(z_1,z_2) \lor d(z_2,z_4), \\ d(z_1,z_4) \lor d(z_1,z_3), & d(z_1,z_4) \lor d(z_2,z_3), & d(z_1,z_4) \lor d(z_2,z_4), \\ d(z_2,z_3) \lor d(z_1,z_3), & d(z_2,z_3) \lor d(z_2,z_4), & d(z_3,z_4) \lor d(z_1,z_3), \\ d(z_3,z_4) \lor d(z_1,z_4), & d(z_3,z_4) \lor d(z_2,z_3), &d(z_3,z_4) \lor d(z_2,z_4). \\ \end{array} \right. \end{align} y nos damos cuenta de que si, por ejemplo,$i_1=i_2$, entonces cada combinación de las anteriores desigualdades resultado en $$ E| h((X_{i_1},Y_{i_1}),...,(X_{i_6},Y_{i_6}))|^{\frac{\#\{i_1,...,i_6\}}{6}} \leq 4E([\gamma(X_{i_1},...)\theta(Y_{i_1},...)]^{\frac{\#\{i_1,...,i_6\}}{6}}), $$ donde $\gamma$ $\theta$ es alguno de los anteriores límites superior.
Sabemos que $E\gamma(X_{i_1},...)<\infty$$E\theta(Y_{i_1},...)<\infty$, por ejemplo $$ Ed(X_{i_2},X_{i_3}) \lor d(X_{i_1},X_{i_3}) \leq E d(X_{i_2},x')+d(X_{i_3},x')+d(X_{i_1},x')+d(X_{i_3},x') < \infty. $$ Pero no podemos usar la independencia para dividir la expectativa desde $X_{i_1}$ no pueden ser independientes de $Y_{i_1}$. Me doy cuenta de que si $\#\{i_1,...,i_6\}\leq 3$ luego de Cauchy-Schwarz desigualdad puede ser utilizado para decir que \begin{align*} 4E([\gamma(X_{i_1},...)\theta(Y_{i_1},...)]^{\frac{\#\{i_1,...,i_6\}}{6}})&\leq 4E([\gamma(X_{i_1},...)\theta(Y_{i_1},...)]^{1/2})+4 \\ &\leq 4[E\gamma(X_{i_1},...)]^{1/2}[E\theta(Y_{i_1},...)]^{1/2} +4< \infty, \end{align*} pero si $3<\#\{i_1,...,i_6\}\leq 6$, entonces no podemos utilizar esto.
Por lo tanto: hay otra versión de SLLN para $V$-estadísticas de la que es adecuado en esta situación, o hay otra manera de acotar las expectativas?
