Las soluciones que se utilizan para la siguiente ecuación hipergeométrica?

Question

Actualmente estoy tratando de entender la solución a una ecuación hipergeométrica dado en un papel en campos escalares y la rotación de los agujeros negros por S. Detweiler (https://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.22.2323).

La ecuación que tengo problemas es con (17):

$$z(z+1)\frac{d}{dz}[z(z+1)\frac{dR}{dz}]+[P^2-l(l+1)z(z+1)]R=0$$

Cuando trato de resolverlo en mathematica puedo conseguir asociados polinomios de Legendre:

$$R(z) = C[1]LegendreP[l, 2 I P, 1 + 2 z] + C[2] LegendreQ[l, 2 I P, 1 + 2 z]$$

Sé que estas pueden ser escritas en términos de funciones hipergeométricas pero ellos no parecen coincidir cuando trato.

En el documento, el autor proporciona una solución de la forma siguiente:

$$R(z)=(\frac{z}{z+1})^{iP}G(-l,l+1;1-2iP;z+1)$$

donde G es cualquier solución de la ecuación hipergeométrica.

Desde aquí se utiliza dos funciones hipergeométricas $U_3$ $U_4$ (que a su vez son combinaciones lineales de las otras dos soluciones de $U_1$$U_5$):

$$U_3 = (-z)^lF(-l,-l-2iP;-2l;-z^{-1})$$ $$U_4 = (-z)^{-l-1}F(l+1,l+1-2iP;2l+1;-z^{-1})$$

Estoy seguro de cómo, dada su solución en términos de G, el autor sabía que independiente de funciones hipergeométricas para su uso en los siguientes pasos a dar la solución correcta.

Gracias de antemano por cualquier consejo que me puedan dar!

EDIT: Como yo era incapaz de encontrarlo en el papel, he calculado lo que yo creo que son las correctas condiciones de contorno. El requisito es que en el horizonte, $r \rightarrow r_+$, sólo hay un entrante de onda de la solución. Es útil saber que en las ecuaciones anteriores:

$$ P = (am - 2Mr_+ \omega)/(r_+ - r_{-}) $$

$$ z = (r-r_+)/(r_+ - r_-)$$

a continuación, la condición de contorno en $r \rightarrow r_+$ es

$$R \sim (r-r_+)^{-i\alpha}$$ donde $$ \alpha = \frac{Mr_+\omega-ma/2}{\sqrt{M^2-a^2}} $$

Answer 1

$z(z+1)\dfrac{d}{dz}\left(z(z+1)\dfrac{dR}{dz}\right)+(P^2-l(l+1)z(z+1))R=0$

$z(z+1)\dfrac{d^2R}{dz^2}+(2z+1)\dfrac{dR}{dz}+\left(\dfrac{P^2}{z(z+1)}-l(l+1)\right)R=0$

$\dfrac{d^2R}{dz^2}+\dfrac{2z+1}{z(z+1)}\dfrac{dR}{dz}+\dfrac{1}{z(z+1)}\left(\dfrac{P^2}{z(z+1)}-l(l+1)\right)R=0$

$\dfrac{d^2R}{dz^2}+\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z+1}\right)\dfrac{dR}{dz}+\dfrac{1}{z(z+1)}\left(\dfrac{P^2}{z}-\dfrac{P^2}{z+1}-l(l+1)\right)R=0$

Que se refiere a Riemann, de la ecuación diferencial.

Deje $R=z^a(z+1)^bS$ ,

A continuación, $\dfrac{dR}{dz}=z^a(z+1)^b\dfrac{dS}{dz}+z^a(z+1)^b\left(\dfrac{a}{z}+\dfrac{b}{z+1}\right)S$

$\dfrac{d^2R}{dz^2}=z^a(z+1)^b\dfrac{d^2S}{dz^2}+z^a(z+1)^b\left(\dfrac{a}{z}+\dfrac{b}{z+1}\right)\dfrac{dS}{dz}+z^a(z+1)^b\left(\dfrac{a}{z}+\dfrac{b}{z+1}\right)\dfrac{dS}{dz}+z^a(z+1)^b\left(\dfrac{a(a-1)}{z^2}+\dfrac{2ab}{z(z+1)}+\dfrac{b(b-1)}{(z+1)^2}\right)S=z^a(z+1)^b\dfrac{d^2S}{dz^2}+2z^a(z+1)^b\left(\dfrac{a}{z}+\dfrac{b}{z+1}\right)\dfrac{dS}{dz}+z^a(z+1)^b\left(\dfrac{a(a-1)}{z^2}+\dfrac{2ab}{z(z+1)}+\dfrac{b(b-1)}{(z+1)^2}\right)S$

$\therefore z^a(z+1)^b\dfrac{d^2S}{dz^2}+2z^a(z+1)^b\left(\dfrac{a}{z}+\dfrac{b}{z+1}\right)\dfrac{dS}{dz}+z^a(z+1)^b\left(\dfrac{a(a-1)}{z^2}+\dfrac{2ab}{z(z+1)}+\dfrac{b(b-1)}{(z+1)^2}\right)S+\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z+1}\right)\left(z^a(z+1)^b\dfrac{dS}{dz}+z^a(z+1)^b\left(\dfrac{a}{z}+\dfrac{b}{z+1}\right)S\right)+\dfrac{1}{z(z+1)}\left(\dfrac{P^2}{z}-\dfrac{P^2}{z+1}-l(l+1)\right)z^a(z+1)^bS=0$

$\dfrac{d^2S}{dz^2}+\left(\dfrac{2a}{z}+\dfrac{2b}{z+1}\right)\dfrac{dS}{dz}+\left(\dfrac{a(a-1)}{z^2}+\dfrac{2ab}{z(z+1)}+\dfrac{b(b-1)}{(z+1)^2}\right)S+\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z+1}\right)\dfrac{dS}{dz}+\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z+1}\right)\left(\dfrac{a}{z}+\dfrac{b}{z+1}\right)S+\left(\left(\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{z+1}\right)\left(\dfrac{P^2}{z}-\dfrac{P^2}{z+1}\right)-\dfrac{l(l+1)}{z(z+1)}\right)S=0$

$\dfrac{d^2S}{dz^2}+\left(\dfrac{2a+1}{z}+\dfrac{2b+1}{z+1}\right)\dfrac{dS}{dz}+\left(\dfrac{a^2+P^2}{z^2}+\dfrac{2ab+a+b-P^2-l(l+1)}{z(z+1)}+\dfrac{b^2+P^2}{(z+1)^2}\right)S=0$

Elija $a=iP$$b=-iP$ , la educación a distancia se convierte en

$\dfrac{d^2S}{dz^2}+\left(\dfrac{2iP+1}{z}-\dfrac{2iP-1}{z+1}\right)\dfrac{dS}{dz}-\dfrac{3P^2+l(l+1)}{z(z+1)}S=0$

Deje $z=-t$ ,

A continuación, $\dfrac{d^2S}{dt^2}-\left(\dfrac{2iP+1}{-t}-\dfrac{2iP-1}{-t+1}\right)\dfrac{dS}{dt}-\dfrac{3P^2+l(l+1)}{-t(-t+1)}S=0$

$\dfrac{d^2S}{dt^2}+\left(\dfrac{2iP+1}{t}-\dfrac{2iP-1}{t-1}\right)\dfrac{dS}{dt}-\dfrac{3P^2+l(l+1)}{t(t-1)}S=0$

Que se refiere a hipergeométrica de Gauss ecuación.

Answer 2

El resultado en términos de funciones de Legendre Asociadas parece correcto (Ver más abajo).

La relación entre funciones de Legendre y Gauss función hipergeométrica se pueden encontrar en manuales de matemática, por ejemplo en https://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials (primera ecuación en el §.11).

Esto conduce a una solución de $\quad \left(\frac{z}{z+1}\right)^{i\,p}\:_2 F_1\left(-l\:,\:l+1\:;\:1-2ip\:;\:-z \right)$

Para ser comparados con los de $\quad \left(\frac{z}{z+1}\right)^{i\,p}\:_2 F_1\left(-l\:,\:l+1\:;\:1-2ip\:;\:z \right).\quad$

No puedo decir por qué el signo de $z$ diferencia.