Demostrar que el anillo $\mathbb R[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2-1)$ es un dominio de factorización único.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una pista. Dejemos que $R=\mathbb R[X,Y,Z]/(X^2+Y^2+Z^2-1)$ . Tenga en cuenta que $z-1$ es primo en $R$ . Demostrar que $R_{z-1}$ es un UFD y luego utilizar Criterio de Nagata .
7 votos
¿Qué esperas que diga el OP? "He comprobado $x^2$ . He comprobado $x^2-1$ . He comprobado $x^2-y^2$ ..." ¿O una confesión de que es una tarea y que simplemente no quieren hacerla? Sólo hay que asumir la buena fe.
7 votos
@ABC La petición de Brandon es una práctica habitual cuando se plantea una pregunta como ésta. Él es actuando de buena fe (pero su respuesta a él no muestra mucha buena fe.) El OP podría explicar, por ejemplo, cualquier línea de enfoque que haya intentado hasta este punto, ideas, fracasos, etc.
0 votos
Deberías hacerte una idea de math.stackexchange.com/questions/244460 en el que se hablaba de $\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ . Lo mismo ocurre aquí.
0 votos
O puedes intentar mostrar $\mathbb R /(x^2 +1)$ no es un UFD, que es isomorfo a $\mathbb C$ .
3 votos
@MartinBrandenburg Con dos variables se puede escribir $x\times x=(1-y)(1+y)$ proporcionando dos factorizaciones irreducibles distintas. No está del todo claro si existe un argumento similar para tres variables como afirmas. También varios comentarios aquí conjeturan que el anillo es de hecho un UFD