Probar que: $$6 \not\left|\ \left\lfloor\frac 1 {(\sqrt[3]{28} - 3)^{n}}\right\rfloor \ (n \in Z^+)\right.$$ ($\lfloor x\rfloor$ = entero más grande que no exceda $x$)
Yo soy muy malo como el inglés y la teoría de los números, que por favor me ayude
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
user8269
Puntos
46
Deje $x=1/(\root3\of{28}-3)$. A continuación,$\root3\of{28}=3+x^{-1}$. Cubicación, $28=27+27x^{-1}+9x^{-2}+x^{-3}$, que dice $x^3-27x^2-9x-1=0$. Si dejamos $y$ $z$ ser los conjugados de la $x$, y deje $a_n=x^n+y^n+z^n$, $a_n$ es un número entero para todos $n$, $a_n$ es el entero más cercano a $x^n$ (desde $y^n$ $z^n$ ir a cero, de forma rápida), y $a_n$ satisface la recurrencia $a_n=27a_{n-1}+9a_{n-2}+a_{n-3}$. Ahora usted puede averiguar las condiciones iniciales (es decir, los valores de $a_0,a_1,a_2$) y, a continuación, usted estará en una posición para utilizar la repetición para trabajar en el residuo de $a_n$ modulo $6$. Si se mira un poco más de cerca a $y^n$$z^n$, usted puede encontrar que $a_n=[x^n]$, no estoy seguro. De todos modos, hay algo de trabajo por hacer, pero esto se ve como un enfoque prometedor.
Anthony Shaw
Puntos
858
Si establecemos $\eta=\sqrt[3]{28}$$\omega=\dfrac1{\eta-3}=\dfrac{\eta^3-27}{\eta-3}=\eta^2+3\eta+9$, entonces, de trabajo $\bmod\ \eta^3-28$: $$ \begin{align} \omega^0&=1\\ \omega^1&=9+3\eta+\eta^2\\ \omega^2&=249+82\eta+27\eta^2\\ \omega^3&=6805+2241\eta+738\eta^2 \end{align}\etiqueta{1} $$ La solución de las ecuaciones lineales que participan los rendimientos $$ \omega^3-27\omega^2-9\omega-1=0\etiqueta{2} $$ Buscando en los puntos críticos de $x^3-27x^2-9x-1$, vemos que tiene una raíz real y dos complejas conjugadas raíces. La raíz real es de $\omega\stackrel.=27.3306395$, y dado que el producto de todas las raíces es $1$, el valor absoluto de los dos conjugar las raíces es menor que $\frac15$.
Deje $\omega_0=\omega$ $\omega_1$ $\omega_2=\overline{\omega}_1$ ser las raíces de $x^3-27x^2-9x-1=0$. Simétrica funciones y los coeficientes de $(2)$ de rendimiento $$ \begin{align} a_0=\omega_0^0+\omega_1^0+\omega_2^0&=3\\ a_1=\omega_0^1+\omega_1^1+\omega_2^1&=27\\ a_2=\omega_0^2+\omega_1^2+\omega_2^2&=747\quad=27^2-2(-9) \end{align}\etiqueta{3} $$ y, debido a que cada una de las $\omega_k$ satisface $(2)$, $$ a_n=27a_{n-1}+9a_{n-2}+a_{n-3}\etiqueta{4} $$ Porque $|\omega_1|=|\omega_2|<\frac15$, $|\,a_n-\omega^n\,|\le\frac2{5^n}$. También, $(3)$ $(4)$ muestran que $a_n\equiv3\pmod{6}$.
Por lo tanto, $\omega^0=1$$n\ge1$, $$ \lfloor\omega^n\rfloor\in\{2,3\}\pmod{6}\etiqueta{5} $$
