En la definición de $R^3$, $V = \iiint_S dx \, dy \, dz $ como el volumen de la superficie de $S$, $S$ cerrado, acotado y de arco conectado. Cual es el $S$ mínimo de área, que contiene $V$. Sé que es un poco general, así que tal vez podría pensar en otra restricción sin perder demasiada generalidad
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Asko
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La mínima de la superficie es una esfera.
El vínculo dado por Brad es la desigualdad isoperimétrico, que afirma que de todas las superficies con el área de $A$, la que encierra el mayor volumen es una esfera. Esto también implica que la respuesta a tu pregunta: de todas las superficies que encierra un volumen dado $V$, el uno con menos área de superficie es una esfera.
Para ver esto, fijar un volumen $V$ y deje $S$ ser cualquier superficie que encierra el volumen de $V$. Deje $S_0$ ser una esfera con la misma zona de la superficie como $S$. Por la desigualdad isoperimétrico, $S_0$ encierra más volumen que el $S$ (o la misma cantidad). Así que si hemos reducido $S_0$ para obtener una pequeña esfera de $S_1$ cuyo volumen es $V$, habría área de superficie más pequeña que la de $S_0$, y, por tanto, menor superficie de $S$.
Así hemos demostrado que la esfera se $S_1$ cuyo volumen es $V$ tiene el área de superficie más pequeña que cualquier otra superficie de $S$ adjuntando volumen $V$.
La relación entre las declaraciones de este tipo se llama dualidad.
Narasimham
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La superficie de área mínima para un volumen dado es un Delaunay Unduloid.
Los meridianos de la curvatura media constante con respecto al eje de simetría de rotación.
Entre los unduloids, la esfera es la más pequeña.
Es sencillo de configurar la isoperimeric problema y luego resolverlo por Euler-Lagrange las Ecuaciones.
En este sentido cabe recordar que el locus de un foco de la elipse, ya que los rollos en una línea recta sin deslizamiento corresponde a este meridiano. Lo leí primero de Blashke el libro sobre geometría diferencial ( alemán ).
