Si una secuencia converge puntualmente y una subsecuencia converge uniformemente, ¿la secuencia converge uniformemente?

Question

Dejemos que $f_{n}: X \rightarrow Y$ sea una secuencia de funciones continuas de un espacio métrico a otro. Supongamos que la secuencia converge puntualmente. Sin embargo, una subsecuencia $\{ f_{n_k} \} $ converge uniformemente. ¿Se puede concluir que la secuencia converge uniformemente?

Answer 1

No: toma $(g_n)$ una secuencia que converge puntualmente, pero no uniformemente, a la función nula (donde $Y=\mathbb R$ ) y definir $f_{2n}=g_n$ , $f_{2n+1}=0$ .