Para que enteros impares $n$$m$, $n \ge m$ $$n\cdot m\cdot [(m-8)\cdot n+4]-4$ $ un cuadrado?
Parte de mis esfuerzos realizados hasta el momento:
El producto de los tres factores anteriores es una suma de dos cuadrados (el cuadrado deseamos encontrar más $2^2$), por lo tanto, los tres factores son una suma de dos cuadrados demasiado (ya que su descomposición en factores primos de la forma correcta).
Pero eso no es suficiente, ya que su producto menos 4 debe ser un cuadrado.
Por lo $n=17$ $m=13$ vistazo a estar bien, a primera vista, como el tercer factor, a continuación, se $89=8^2+5^2$, pero el producto $13\cdot 17\cdot 89$ no es un cuadrado más 4.
Por otro lado, $n=17$ $m=17$ es ACEPTAR, como el tercer factor de ahora es $157=11^2+6^2$ también $17\cdot 17 \cdot 157=213^2+2^2$.
Tomando la suma de dos cuadrados a ser el determinante de a $2x2$ matriz $$\left(\begin{array}{cc}a&b\\-b&a \end{array}\right)$$ es fácil ver que $n$, $m$ y $(m-8)\cdot n+4$, a continuación, corresponden a las matrices cuyo producto es una matriz como la anterior con $b=\pm2$. Por ejemplo
$$\left(\begin{array}{cc}4&1\\-1&4 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}4&1\\-1&4 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}11&-6\\6&11 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}213&-2\\2&213 \end{array}\right)$$ No estoy seguro si esto ayuda a encontrar la solución, sin embargo.
Un par de las soluciones que he encontrado son
$$ \begin{array}{l|l|c|l} \text{n} & \text{m} & (m-8)\cdot n+4 & \text{product} \\ \hline 17=4^2+1^2 & 17=4^2+1^2 & 157=11^2+6^2 & 45373=213^2+2^2 \\ 29=5^2+2^2 & 13=3^2+2^2 & 149=10^2+7^2 & 56173=237^2+2^2 \\ 3277=54^2+19^2 & 17=4^2+1^2 & 29497=171^2+16^2 & 1643248373=40537^2+2^2 \\ \end{array} $$ Lo que me gustaría tener es una expresión general para todas las soluciones, o un algoritmo para encontrar la siguiente solución.
