Me gustaría demostrar la siguiente propiedad útil de los números reales:
Para cada número real $a$ , demuestre que $\frac{a}{1} =a,$
donde para todos los números reales a y b: $\frac{a}{b}=a*\frac{1}{b}; b\neq0,$
y $\frac{1}{b}$ es la inversa recíproca o multiplicativa de $b.$
Los números reales forman un campo, así que demostremos la proposición para un campo arbitrario.
Estos son los hechos básicos que conocemos sobre la estructura multiplicativa de cualquier campo, donde $x'$ es la notación para el recíproco de $x$ .
Tres comentarios:
En primer lugar, notarás que hay redundancia en la lista anterior (en particular, cada versión del axioma 2 se sigue de la otra, dada la 4; de manera similar, cada versión del axioma 3 se sigue de la otra, dada la 4). Pero eso está bien; no siempre hay que definir las cosas de forma mínima. De hecho, la búsqueda del minimalismo a veces puede hacer que las cosas sean más difíciles de lo necesario. Dicho esto, siempre hay que buscar caracterizaciones mínimas después de definir algo.
En segundo lugar, es posible que esté más familiarizado con la versión "existencial" de los axiomas 2 y 3, a saber
$$\exists 1\forall x (x1 = x \wedge 1x=x \wedge \forall x(x \neq 0 \rightarrow \exists y(xy=1)))$$
respectivamente. Creo que es un ejemplo perfecto de cómo la búsqueda del minimalismo puede complicar demasiado las cosas. Es mucho mejor incluir la reciprocidad y la identidad multiplicativa como parte de los datos, ya que esto implica menos tonterías. Además, (aunque este comentario probablemente pase por alto) especificar los datos adicionales (en este caso, la identidad multiplicativa $1$ y la función de reciprocidad) normalmente nos da una mejor idea de lo que deberían ser los homomorfismos de nuestras estructuras, especialmente si estos datos adicionales nos permiten expresar nuestros axiomas en un fragmento más débil de la lógica de primer orden (que en este caso lo hace, ya que no hay cuantificación existencial en el enfoque que estoy defendiendo).
En tercer lugar, quizá te interese saber que, como resulta, no toda estructura que satisfaga los cinco axiomas dados puede darse como estructura multiplicativa de un campo. Básicamente, esto se debe (pero esto también puede pasar por alto) a que puede no existir una estructura de grupo abeliano adecuada en el conjunto subyacente que interactúe correctamente con la multiplicación de manera que el resultado global sea un campo.
Adelante.
Dejemos que $F$ denotan un campo. Su pregunta es (básicamente): si $a \in F$ ¿Cómo sabemos que $a/1 = a$ ?
En primer lugar, vamos a definir la división. Consideremos $a,b \in F$ con $b \neq 0$ . Entonces $b'$ está bien definida. Así, por 4, vemos que $ab'=b'a$ . Así que vamos a definir que para todos $a$ y todo lo que no sea cero $b$ tenemos que $$\frac{a}{b}$$ es igual a cualquiera de estas dos expresiones, y por tanto a ambas.
Obsérvese, en particular, que como $1 \neq 0$ tenemos que $\frac{a}{1}$ está siempre bien definida, para todo $a \in F$ .
Bien, vamos a probar tu resultado. Dejemos que $a \in F$ ser fijo pero arbitrario. Entonces, para demostrar $\frac{a}{1} = a$ podemos argumentar lo siguiente.
$$\frac{a}{1} = a1' = a1 = a$$
El único paso que no está claro es $1' = 1,$ así que vamos a verificar esto.
Sabemos por el axioma 3 que
$$\forall x(x \neq 0 \rightarrow xx'=1)$$
Así, podemos deducir que $$1 \neq 0 \rightarrow 11' = 1.$$
Pero la hipótesis de la implicación anterior se mantiene, ya que es sólo el axioma 5. Por lo tanto
$$11' = 1.$$
Por último, recordemos que el axioma 2 dice
$$\forall x(1x=x)$$
Así, $$11'=1',$$ y por lo tanto $1 = 1',$ según sea necesario.
@TedShifrin, eso plantea una cuestión interesante. Si en lugar de afirmar que todo elemento tiene un inverso aditivo, afirmamos sólo que $1$ tiene un inverso aditivo, podemos, definiendo $-a = (-1)a,$ ¿probar así que todo elemento tiene un inverso aditivo? Seguro que sí. Obsérvese $(-a)+(a) = (-1)a+(1)a = (-1 + 1)a = 0a = 0$ .
El conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales es un campo $F$ lo que significa que la suma y la multiplicación están definidas y tienen el propiedades habituales . Según el enlace anterior en Wikipedia la división se define implícitamente en términos de la operación inversa de la multiplicación . Entre los axiomas que se utilizan para dar una definición formal de un campo (aditivo y multiplicativo), haremos uso de los dos siguientes para demostrar el resultado requerido:
Existencia de un elemento de identidad multiplicativo. Existe un elemento, llamado elemento de identidad multiplicativa y denotado por $1$ , tal que para todo $a$ en $F$ , $$a \cdot 1 = a$$
Existencia de la inversa multiplicativa. Para cualquier a en $F$ que no sea $0$ existe un elemento $a^{1}$ en $F$ , de tal manera que $$a \cdot a^{-1} = 1$$ Los elementos $a \cdot b^{1}$ también se denotan por $\frac{a}{b}$ . En otras palabras, la operación de división existe.
Así que, volviendo a la pregunta, sustituyendo $a=1$ en la primera propiedad tenemos que $$1\cdot 1=1$$ lo que implica, basándose en la segunda propiedad, que $$1^{-1}=1$$ es decir, que $1$ es el inverso multiplicativo de sí mismo (que si se supone conocido, entonces se puede omitir todo lo anterior). Utilizando la notación en negrita (segunda propiedad) tenemos que $$\frac{a}{1}=a\cdot 1^{-1}=a\cdot1=a$$ lo que demuestra la igualdad requerida.
Así que al decir: 1 es su propio recíproco porque 1*1=1, que se puede decir que es un caso especial de a*1=a, podemos ir directamente a la definición de la división.
Gracias por su tiempo y esfuerzo. ¿Puedo pedir su opinión sobre la respuesta del usuario 685252?
Puedes usar la inducción, supongo. Esta prueba sólo funciona si podemos establecer que $ \frac11=1 $ . si puedes hacerlo, entonces la inducción es el mejor método para demostrarlo.
O puedes utilizar la teoría de los anillos y establecer que el conjunto de los números reales es un campo con + y *. A partir de lo cual se puede decir que 1 es un elemento de identidad y por lo tanto,
$$ a.1=1.a=a $$
utilizar la identidad correcta aquí, es decir $$ a.1=a $$
como R es un campo, debe tener un elemento inverso a la multiplicación. Como 1 es el elemento identidad, es el inverso de sí mismo. $$ \therefore 1^{-1}=1 $$$$ |implica a.1^{-1}=a $$$$ \implies \frac a 1 =a $$
Mi idea era hacer así, definir $$ f(x)=\frac x 1 - x $$$$ necesitamos probar que f(x)=0 para todo x en R $$ Luego procedemos a comprobar para x=1, x=2 asumimos que es cierto para x, luego comprobamos para x+1 pero supongo que eso se demuestra para el conjunto de los números naturales. De todos modos, ya que R es un campo, la prueba es sencilla.
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$1$ es el elemento neutro de la multiplicación, por lo que $1=1^{-1}$ y por lo tanto $a\cdot 1^{-1}=\frac{a}{1}=a\cdot 1=a$
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$a/1=b\to a=1\times b$