¿Por qué son significativas las funciones hiperbólicas?

Question

Actualmente estoy cubriendo la campaña de Stewart Primeros Trascendentales Y hay toda una sección dedicada a la definición y diferenciación de funciones hiperbólicas. La misma cantidad de espacio se utiliza para cubrir otros tipos de funciones como las trigonométricas y las exponenciales.

Mi pregunta es, ¿cuál es el significado de estas funciones hiperbólicas? ¿Para qué se utilizan?

Answer 1

Son las complejidades de las funciones trigonométricas. Por ejemplo, $\cosh(x) = \cos(ix)$ y $i \sinh(x) = \sin(ix)$ . De este modo, se puede calcular $\cos(z)$ para cualquier número complejo $z$ .

Las funciones Trig surgen naturalmente como soluciones de la EDO $y''(x) = k y(x)$ cuando $k$ es negativo. Las funciones hiperbólicas surgen entonces como soluciones cuando $k$ es positivo.

Answer 2

Una buena aplicación de las funciones hiperbólicas se da en la relatividad especial. Olvidando dos de las dimensiones espaciales, tenemos el llamado espaciotiempo 1+1: puntos $(t,x)$ con la métrica $d\tau^2=dt^2-dx^2$ . (Aquí utilizamos unidades donde la velocidad de la luz es 1.) Entonces la transformación de Lorentz puede escribirse como $$\begin{align*}t'&=t\cosh\phi-x\sinh\phi\\x'&=-t\sinh\phi+x\cosh\phi\end{align*}$$where $\phi$ satisfies $\tanh\phi=v$, where $v$ is the relative velocity. Now compare this with the formula for rotating an $(x,y)$ coordinate system through an angle $\phi$:$$\begin{align*}x'&=x\cos\phi-y\sin\phi\\y'&=x\sin\phi+y\cos\phi\end{align*}$$ donde la pendiente relativa viene dada por $\tan\phi$ .

Si utilizamos la forma imaginaria $\cosh(\phi)=\cos(i\phi)$ , $\sinh(\phi)=-i\sin(i\phi)$ podemos reescribir la fórmula de Lorentz como una "rotación a través de un ángulo imaginario" $i\phi$ .