Spinor campo de la normalización de los polos en el propagador

Question

En la teoría de la libre escalar bosones (KG de campo) es un resultado básico que el propagador $\Delta(p)$ tiene polos en $p^2=m^2$, con residuo $1$ (o cualquier otra constante, dependiendo de los convenios). El pensamiento de $p^2$ como una variable es aceptable, porque se puede demostrar que el propagador es una función de $p^2$, incluso en la interacción caso.

Por otro lado, en la teoría de la libre spinor campos (campo de Dirac), podemos mostrar que el predicador no es una función de $p^2$, pero de $\not p$, por lo que no podemos utilizar el $p^2$ truco. Convenios de lado, el propagador es $$ S(p)=\frac{\p+m}{p^2 m^2+i \epsilon} $$

Está claro que no podemos pensar en los polos como $p^2\to m^2$, debido a $S(p)$ depende de $p$ en un no-tan-forma trivial. La solución habitual es pensar de $S$ como una función de la $\not p$, como si $\not p$ era de un número en lugar de una matriz, por lo tanto la escritura $$ S(\p)=\frac{1}{\no p-m+i\epsilon} $$ y, de nuevo, nos encontramos con un poste en $\not p=m$, con residuo $1$. Creo que esto no es matemáticas. Esto es sólo sentido (que puede ser que soy demasiado escéptico, y podemos darle un significado a esta última fórmula).

En una interacción de la teoría, se define la intensidad de campo de la normalización de la $Z$ como el residuo de la propagador en los polos: $$ \Delta(p^2)=\frac{Z}{p^2 m^2+i\epsilon}+\int_{M_\text{thresh}^2}^\infty \mathrm d\mu^2\rho(\mu^2)\frac{1}{p^2-\mu^2+i\epsilon} $$ $$ S(\p)=\frac{Z}{\no p-m+i\epsilon}+\int_{M_\text{thresh}^2}^\infty \mathrm d\mu^2\frac{\p\rho_1(\mu^2)+\mu \rho_2(\mu^2)}{\p^2-\mu^2+i\epsilon} $$

Ahora, no entiendo cuál es la definición adecuada de la $Z$ como un residuo. ¿En qué sentido es un residuo? ¿Cuál es la variable? Simplemente no puedo aceptar es un residuo como $\not p\to m$. Que es lo que realmente tome este "pensar de $\not p$ como una variable" en serio? Es posible que para la formalización de estos asuntos, por el pensamiento de un residuo de una variable real (como $p_0$)?

Tal vez la $\not p$ truco es solo un truco, que puede simplificar los cálculos, pero de tal manera que puede ser demostrado que el resultado real, encontrado por más de un procedimiento estándar, es el mismo. Es este el caso? Si es así, ¿cuál es el procedimiento correcto?

EDITAR

Como las respuestas que he recibido están lejos de lo que yo esperaba, deduzco que no me explique mi pregunta correctamente. Las respuestas son muy apreciados, pero que en realidad no añade nada que no me conocen; me culpa a mí mismo, debo de haber escrito mis dudas de una manera más explícita.

Ill intentar hacer mi pregunta más claro: normalmente tomamos la propia energía para satisfacer $$ \lim_{\p\a m}\Sigma(\p)=0 $$ $$ \lim_{\p\a m}\frac{\mathrm d\Sigma}{\mathrm d\no p}=0 $$

Si esto funciona o no, debe haber una manera de reformular estas relaciones en algo mathematicaly aceptable, como la toma de $p_0\to \pm(\boldsymbol p^2+m^2)^{1/2}$. Es esto posible?

(Yo realmente apreciaría si las respuestas no asuma que podemos reforzar el marco del resto de las partículas, como me gustaría que sea lo más general posible. Quiero tomar en cuenta la posibilidad de $m=0$, así que por favor no aumentar en $k=(m,\boldsymbol 0)$ si no es realmente necesario)

Answer 1

Primero de todo, afirmando que el de Klein-Gordon propagador es una función de $p^2$ indica que es una función de $p^\mu$, pero no depende de Lorentz transforma el vector $p^\mu$, por lo que debe ser en realidad una función en la forma $S(p^2(p^\mu))$. Sin embargo, que el predicador tiene un polo en $p^2=m^2$ sólo es cierto si entendemos $p^2$ c independiente de la cantidad.

En el total $p^\mu$ espacio es más difícil, naturalmente, definir lo que significa esta declaración debido a $p^\mu p^\nu \eta_{\mu \nu}$ falla como "radial" coordinar la $p^2=0$ luz de cono. (Tenga en cuenta que nosotros hacemos integrar en la luz y el espacio-como $p^\mu$ el espacio a la propagación). La única manera de dar sentido a la declaración de un polo es entender $p^2$ como un localmente (pero no a nivel mundial) con una validez de coordenadas en la $p^\mu$ espacio dado por $p^\mu=\sqrt{p^2} n^\mu,\,n^\mu n_\mu=1$ donde $n^\mu$ se caracteriza por tres "angular" de coordenadas. En el sentido de que este local de coordenadas y el complejo continuación a través de ella, el predicador tiene un polo de residuo $1$ (en su fase de convenio) a $p^2=m^2$ mismo para cada valor de $n^\mu$.

---

Ahora pasemos a la fermionic caso. La matriz $\not p=p^\mu \gamma_\mu$ es de Lorentz-covariante y así es la matriz de $$S(\not p) = \frac{\not p + m}{p^2-m^2}$$

La notación $\frac{1}{\not p - m}$ sólo significa la inversa de la matriz en el denominador; de hecho, es el único sentido que puede ser interpretado. El propagador es, de manera similar a los escalares propagador, covariante con respecto a transformaciones de coordenadas de Lorentz. Pero sólo covariante, así que realmente no podemos decir que es una función de sólo $p^2$. $\not p$ contiene la misma información que $p^\mu$, por lo que es intercambiable decir que $S$ es una función de $\not p$ o $p^\mu$.

Ahora vamos a utilizar las coordenadas locales $p^\mu=\sqrt{p^2} n^\mu,\,n^\mu n_\mu=1$. Usted puede comprobar usted mismo que una vez más, el predicador tiene un polo en el mismo sentido el escalar propagador había, aunque aquí el valor del residuo es $m(1+\not n)=m+\not p_{on-shell}$, es decir, no depende de la "angular" de coordenadas en el $p^\mu$ espacio.

El renormalization factor de $Z$ es simplemente el factor adicional a este residuo.

---

El caso de partículas sin masa es más difícil porque una luz como de cuatro impulso $k^\mu$ corresponde al mismo estado físico como $\lambda k^\mu$ con $\lambda>0$ $k^2$ no hace nada para discriminar. Uno debe entonces elegir un determinado coordenadas tal que $k^2$ es una "buena" coordinar, al menos, en las inmediaciones de la luz de cono, y luego de que el polo está dado como el polo de la $k^2$ en este sentido. (Un ejemplo sería el clásico 4D coordenadas esféricas en la $k^\mu$ espacio con uno de los polos norte en $k^\mu=(k^0,0,0,0)$ $k^2$ tomando el papel de la $\theta$ de coordenadas.)

También se debe tener cuidado de que el valor de los residuos depende, generalmente, del calibre de empleados ($m \to 0$ límite le da el propagador sólo en un determinado calibre), pero de lo contrario $Z$ puede ser leído a partir de los residuos de la misma manera como en el masivo de la partícula en la caja.

Answer 2

Considere el caso sencillo en el tiempo-como el impulso en 2+1 dimensiones, así que podemos ir a un fotograma donde $p = (\omega,0,0)$. Elija $\gamma^t = \sigma_z$ a ser el tercer Pauli matriz, $\sigma_z = diag(1,-1)$. A continuación, el propagador para el electrón puede ser escrito $$ S(p) = {1 \over \omega^2 m^2} (\omega \sigma_3 - m) \ . $$ En este caso simple, es bastante claro lo que está pasando. $S(p)$ es un 2x2 (en diagonal) de la matriz con valores propios $1/(\omega+m)$$-1/(\omega-m)$. En otras palabras (y creo que más en general) los autovalores de a $S(p)$ tiene polos al $p^2 = m^2$ con residuo $\pm 1$.