¿Una función continua no trivial en todas partes con un número incontable de raíces?

Question

Este es mi primer post en SE, perdona cualquier error.

Estoy buscando un ejemplo de una función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que es continua en todas partes pero tiene incontables raíces ( $x$ tal que $f(x) = 0$ ). No busco ejemplos triviales como $f = 0$ para todos $x$ . No se trata de un problema de deberes. Preferiría un empujón en la dirección correcta más que un ejemplo explícito.

Gracias.

Edición: ¡Gracias a todos! He construido mi ejemplo con su ayuda.

Answer 1

Las raíces de una función continua son siempre un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$ : $\{0\}$ está cerrado, por lo que $f^{-1}(\{0\})$ también está cerrado.

Si tiene un conjunto cerrado $S$ se puede definir una función $f : x \mapsto d(x,S)$ que es continua y cuyo conjunto de raíces es exactamente $S$ : puedes hacer que una función continua tenga cualquier conjunto cerrado como su conjunto de raíces.

Por tanto, sólo hay que buscar conjuntos cerrados que sean incontables.

Answer 2

Este podría ser interesante para usted.

Answer 3

Aunque parece que estás contento con las respuestas dadas, no puedo resistirme a señalar la siguiente construcción que ya mencioné en este hilo . Si este ejemplo ya figura en uno de los enlaces proporcionados en la otra respuesta, pido disculpas por la duplicación:

Elija una curva de llenado de espacio $c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ y componerlo con la proyección $p$ a uno de los ejes de coordenadas. Esto le da un ejemplo de una función continua y sobreyectiva $f = p \circ c: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ todas cuyas preimágenes son incontables .

Answer 4

Hace poco realicé una tarea similar, en la que convertí una serie de shapefiles de polígonos 3D en archivos KML para ver los datos en Google Earth. Me encontré con la extensión Export to KML para ArcMap 9.3 o 10 que gestiona la exportación de shapefiles como KML, permitiendo establecer y modificar etiquetas, estilos, datos temporales y atributos. He descubierto que esta extensión es mucho más potente y fácil de usar que las herramientas estándar de ESRI para exportar datos KML.

Otra opción que consideré, pero que finalmente rechacé debido a la necesidad de utilizar estilos de polígono definidos en un archivo mxd existente, fue utilizar FME para crear un banco de trabajo que traduzca los shapefiles en datos KML. Esta sería una solución ideal si necesitas realizar las mismas operaciones en muchos shapefiles de forma automática, ya que la extensión Export to KML no puede ser programada.

Answer 5

Si $f(x)$ es la función entonces $E = \{ x \colon f(x) = 0 \} $ es un conjunto cerrado. ¿Conoces un conjunto cerrado no trivial, según tus estándares, con un número incontable de puntos? El complemento de $E$ está abierto. ¿Hay alguna manera de describir el complemento de $E$ para que sea fácil construir el resto de la función de tal manera que la función nunca sea $0$ en el complemento de $E$ .