Análogo al teorema de Newton para polinomios simétricos

Question

El teorema de Newton de los polinomios simétricos dice que todo polinomio simétrico puede escribirse como un polinomio en polinomios simétricos elementales. Por lo tanto, cuando $S_n$ actúa sobre $\mathbb{Q}(x_1,...,x_n)$ naturalmente entonces el campo fijo bajo esta acción es $\mathbb{Q}(e_1,...,e_n)$ donde $e_1,...,e_n$ son polinomios simétricos elementales. Sea $C_p$ (realizado como un grupo de permutación generado por un $p$ -), donde $p$ es un acto primordial en $\mathbb{Q}(x_1,...,x_p)$ ¿qué se puede decir del campo fijo bajo esta acción? ¿Existe un análogo del teorema de Newton para esto?

Gracias

Answer 1

Permíteme fingir que cuando dijiste $\mathbb{Q}$ en realidad querías decir $\mathbb{C}$ . Usted quiso decir $\mathbb{C}$ ¿verdad? En ese caso, fijar una primitiva $n^{th}$ raíz de la unidad $\zeta_n$ . Permítame cambiar el nombre de sus variables a $x_0, x_1, ... x_{n-1}$ y luego ignorarlas para introducir un conjunto diferente de variables

$$y_i = \zeta_p^0 x_0 + \zeta_p^i x_1 + \zeta_p^{2i} x_2 + ... + \zeta_p^{(n-1)i} x_{n-1}, 0 \le i \le n-1.$$

Entonces un generador de $C_n$ envía $y_i$ a $\zeta_p^i y_i$ . (Esto es esencialmente el transformada discreta de Fourier .) En consecuencia, un generador de $C_n$ actúa sobre un monomio por

$$\prod y_i^{m_i} \mapsto \prod \zeta_p^{i m_i} \prod y_i^{m_i}.$$

Así, fija precisamente los monomios que satisfacen $\sum i m_i \equiv 0 \bmod n$ . Las combinaciones lineales de estos monomios describen con precisión los polinomios en $\mathbb{C}[x_0, ... x_{n-1}]$ invariante bajo $C_n$ y los cocientes de estos polinomios describen con precisión el subcampo invariante. (No es necesaria la hipótesis adicional de que $n$ es primo).

Ejemplo. Cuando $n = 3$ , miramos los monomios en $y_0, y_1, y_2$ . Los primeros monomios invariantes son $y_0, y_1 y_2, y_1^3$ y los productos de éstos y sus inversos dan todos los monomios invariantes (ejercicio), por lo que éstos generan el subcampo invariante.

Ejemplo. Cuando $n = 4$ , miramos los monomios en $y_0, y_1, y_2, y_3$ . Los primeros monomios invariantes son $y_0, y_1 y_3, y_2^2, y_1^2 y_2$ y los productos de éstos y sus inversos dan todos los monomios invariantes (ejercicio), por lo que éstos generan el subcampo invariante.

(La respuesta sobre $\mathbb{Q}$ me parece más complicado. Si termino de redactarlo, será en una respuesta aparte).