Porque de $K(F/G) = K(G/F)$, podemos suponer que $\deg F\ge \deg G$. Si $\ ° F =
\deg G$, we can write $G(x)/F(x) = \lambda + G_2(x)/F(x)$ for some $\lambda\en
K$ and $G_2(x)\en K[x]$ with $\gr G_2(x) < \deg F(x)$. Because of $K(G/F) =
K(G_2/F)$, podemos suponer que la
$$
\deg F>\gr G.
$$
A continuación, $p(y) = F(y) - G(y)\cdot F(x)/G(x)$ es un monic polinomio (hasta el líder coeficiente de $F(y)$, que es una unidad en $K[F/G]$) en
$K[F/G][y]$ ,$p(x) = 0$, yo. e. $x$ integral $K[F/G]$. Si
$\mu(y)$ indica que el polinomio mínimo de a$x$$K(F/G)$, luego se encuentra
ya en $K[F/G][y]$: $K[F/G]$ es un polinomio anillo de más de $K$ y por lo tanto
integralmente cerrado. Desde $\mu(y)$ divide $p(y)$, se deduce que todos los ceros de
$\mu(y)$ son ceros de $p(y)$ y por lo tanto integral sobre la $K[F/G]$. El
los coeficientes de $\mu(y)$ son primarias simétrica funciones en estos (integral)
ceros y, por tanto, en sí misma integral sobre la $K[F/G]$. Pero por integral closedness, que
tienen que estar en $K[F/G]$, yo. e. $\mu(y) \in K[F/G][y]$ como se desee.
Escribe $\mu(y) = y^n + a_{n-1}(F(x)/G(x))y^{n-1} + \dotsb+ a_0(F(x)/G(x)) \en
K[F(x)/G(x)][y]$. We will show that $n\ge \gr
F(x)$.
Deje $N\in\mathbb N$ mínimo en $G(x)^Na_i(F(x)/G(x))\in K[x]$ para todos los
$i=0,\dotsc,n-1$. Escribimos $a_i(y) = \sum_{j=0}^{m_i}a_{i,j}y^j$, de modo que $N =
\max\{m_0,\dotsc,m_{n-1}\}$. Reordenando los términos en
$$
G(x)^Nx^n + G(x)^Na_{n-1}(F(x)/G(x))x^{n-1} + \dotsb+ G(x)^Na_0(F(x)/G(x)) = 0,
$$
obtenemos
$$
G(x)^N\cdot (x^n + a_{n-1,0}x^{n-1}+ \dotsb+ a_{0,0}) = -F(x)\cdot
\sum_{i=0}^{n-1} \frac{G(x)^N(a_i(F(x)/G(x))-a_{i,0})}{F(x)}\cdot x^i.
$$
Desde $F(x)$ $G(x)$ son coprime, se deduce que el $F(x)$ divide $x^n +
a_{n-1,0}x^{n-1}+\dotsb+ a_{0,0}$ and hence $n\ge \deg F(x)$.
