Integración implican puntos fijos

Question

Hace un par de días me encontré con esta declaración

Si $a$, $b$ son puntos fijos de una función de $f$, luego

$$\int_a^b(f(x) + f^{-1}(x)) \,\mathrm dx = b^2 - a^2.$$

He comprobado que para algunos casos sencillos como $\int_0^1 (x^3 + x^{1/3}) \,\mathrm dx = 1/4+3/4=1$ donde $f(x) = x^3$.

Yo sólo podía venir para arriba con un geométricas justificación para la declaración anterior. Hay una analítica de la prueba de la declaración de depender sólo de alto nivel de la escuela de cálculo?

También es posible que se trate de un conocido teorema o la declaración está mal, pero no puedo venir con el contraejemplo.

Answer 1

Sí, el teorema es cierto y la prueba es muy simple cuando se $f$ es diferenciable.

Vamos $$f^{-1}(x)=y$$ Then your integral becomes $$\int_{a}^{b}(f(x)+f^{-1}(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{f(un)}^{f(b)}(y)f'(y)dy\\ =\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}yf' (y)dy=\int_{a}^{b}f(x)dx+\left[yf(y)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f(y)dy\\ =bf(b)-af(a)=b^2-a^2\hspace{8 cm}\Caja$$

Answer 2

Me puede dar una geométricas (puede ser intuitivo) respuesta.

Observe que si $f$ tiene puntos fijos $a$, $b$ a continuación, $f$ $f^{-1}$ se reunirán en $(a.a)$ $(b,b)$ puntos.

Por lo $\int_a^b(f(x) + f^{-1}(x)) \,\mathrm dx=\text{area under}\ f+\text{area under}\ f^{-1}=2(\text{area under the line y=x}) = 2\int_a^bx \mathrm dx=b^2-a^2$

Editar:

Suponga $f$ $f^{-1}$ son monótonas en $(a,b)$ (y de Riemann-Stieltjes integrable). A continuación,

$$\displaystyle\int_a^bf^{-1}dx=\displaystyle\int_a^bxdf=\displaystyle\int_a^bfdf-\displaystyle\int_a^b(f-x)df=\frac{b^2-a^2}{2}+\displaystyle\int_a^b(x-f)dx =b^2-a^2-\displaystyle\int_a^bfdx$$ .