(Fundamental) de la Solución de la ecuación de Helmholtz

Question

La solución fundamental de la ecuación de Helmholtz en $\mathbb{R}^3$ $$(\Delta+k^2)u=-\delta \tag{1}$$ es bien conocido: $$u(x)=\frac{e^{\pm ik|x|}}{4\pi |x|}$$ resuelve la ecuación de Helmholtz en sentido distributivo. La costumbre ansatz para obtener soluciones fundamentales es la transformada de Fourier de ambos lados. A continuación, $(1)$ se convierte en $$(-|x|^2+k^2)\hat{u}(x)=-1 \implies \hat{u}(x)=\frac{1}{k^2-|x|^2}.$$ El problema se plantea ahora es que queremos inversa de la transformada de Fourier $\hat{u}$ para obtener la solución. Pero $\hat{u}$ tiene singularidades de la esfera de radio $k$.

¿Cómo debemos proceder en una rigurosa distribución de la forma de obtener la anterior solución fundamental? ¿Qué hace la gente suele hacer y es allí cualquier libro sobre esos problemas?

Answer 1

Existen algunos errores en la OP. En primer lugar, la transformada de Fourier de la Ecuación de Helmholtz (Ecuación de $(1)$ en el OP) está dada por

$$(-k'^2+k^2)\hat u(\vec k')=-1$$

donde $\vec k'$ $3$- D de transformación de la variable $k'=|\vec k'|$.

Segundo, se sigue entonces que $$\hat u(\vec k')=\frac{1}{k'^2-k^2}\tag 1$$ In what follows, we propose a way forward to take the inverse Fourier Transform of $\sombrero u(\vec k')$ as given by $(1)$.

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METODOLOGÍA $(1)$: Una manera de manejar las singularidades en $k'=\pm k$ es dejar a $k$ tiene un "pequeño" no-cero de la parte imaginaria. Vamos a suponer que $\text{Im}(k)<0$ (e $\text{Re}(k')>0$).

Entonces, podemos escribir

$$\begin{align} u(\vec r)&=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\vec k'\cdot \vec r}}{k'^2-k^2}\,dk'_x\,dk'_y\,dk'_z\\\\ &=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^\infty \frac{e^{ik'r\cos(\theta)}}{k'^2-k^2}\,k'^2\sin(\theta)\,dk'\,d\theta\,d\phi\\\\ &=\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^\pi\int_0^\infty \frac{e^{ik'r\cos(\theta)}}{k'^2-k^2}\,k'^2\sin(\theta)\,dk'\,d\theta\\\\ &=\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^\infty \frac{k'}{k'^2-k^2}\frac{2\sin(k'r)}{r}\,dk'\\\\ &=\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{-\infty}^\infty \frac{k'}{k'^2-k^2}\frac{\sin(k'r)}{r}\,dk'\\\\ &=\frac{e^{-ikr}}{4\pi r} \end{align}$$

Habíamos asumido que $\text{Im}(k)<0$, habríamos recuperado la solución de $\frac{e^{ikr}}{4\pi r}$.

Finalmente, podemos dejar que la parte imaginaria de $k$ enfoque de $0$ y recuperar el resultado para el real $k$.

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Se recomienda referencias incluyen (i) "la Teoría del Campo de Ondas Guiadas," Robert Collin, IEEE Press, (ii) "las Ondas y los Campos en los Medios no Homogéneos," W. C. Masticar, Van Nostrand Reinhold, y (iii) de la Radiación y Dispersión de las Ondas, Felsen y Marcuvitz, IEEE Press.

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METODOLOGÍA $(2)$:

Podemos resolver la Ecuación de $(1)$ en el OP sin el uso de la transformación integral. En su lugar, podemos escribir

$$\nabla^2 u(\vec r)+k^2u(\vec r)=0$$

para $\vec r\ne 0$. La explotación de la simetría esférica del problema, tenemos

$$\nabla^2 u+k^2 u=\frac1{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+k^2u=0$$

que puede ser reorganizado como

$$\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r u)+k^2 (ru)=0 \tag 2$$

Soluciones a $(2)$ son trivialmente visto

$$u=C^{\pm}\frac{e^{\pm ikr}}{r}$$

Nos encontramos con la constante $C^\pm$ por cumplimiento de la condición de $\int_{|\vec r|\le \epsilon}\nabla^2 u(\vec r)\,dV=-1$.

Aplicando el Teorema de la Divergencia en el sentido de las distribuciones revela

$$\begin{align} \oint_{|\vec r|=\epsilon}\left.\left(\frac{\partial u(\vec r)}{\partial r}\right)\right|_{|\vec r|=\epsilon}\,\epsilon^2 \sin(\theta)\,d\theta\,d\phi&=-4\pi C^{\pm}\\\\ &=-1\end{align}$$

con lo cual la solución para $C^{\pm}$ rendimientos $C^\pm=\frac{1}{4\pi}$.