¿Qué significa para una cantidad física si su mixtos segunda derivadas parciales no son iguales?

Question

Esto va para todos los problemas (ya sea en el electromagnetismo o la dinámica de fluidos), que tiene que ver con campos vectoriales. Digamos que tenemos un fluido que fluye en un circuito cerrado de tubo circular (o un campo electromagnético, el concepto no importa). Si su mixtos segunda derivadas parciales no son equivalentes, $$ \frac{\partial^2 \mathbf u}{\partial x\,\partial y}\neq\frac{\partial^2 \mathbf u}{\partial y\,\partial x} $$ donde $\mathbf u$ es la velocidad de flujo del vector, entonces, ¿qué significa esto (físicas, no las matemáticas significado)?

Quiero una INTUITIVA(física,no llanura matemáticas) comprensión de lo que cambia para el líquido (o campos EM) de la situación en que se en donde la igualdad. Dar su propio ejemplo, si piensas que esta es la manera ideal de explicar las cosas que tienes en mente.

Nota: Para los que no saben, primaria matemáticas nos dicen que las segundas mixtas derivadas parciales debe ser igual en la mayoría de los casos, por lo que mi pregunta tiene que ver con una excepción de esta regla, especialmente en la física, donde no vemos este tipo de comportamiento cotidiano).

Answer 1

Los lugares en la física, donde el cálculo de derivadas parciales tiende a ser importante en la identidad de cálculo vectorial. Las situaciones en las que estas identidades podría parecer a romper es cuando hay algún tipo topológico de liquidación. Entonces las derivadas parciales de conmutar en casi todos los puntos, excepto en algunos pequeños donde no se han definido, pero todavía se puede dar algún significado como una función delta.

Por ejemplo, considere el vector potencial de $\mathbf{A}$ y su relación con el campo magnético $$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},$$ $$\nabla\cdot B = (\partial_x\partial_y -\partial_y\partial_x)A_z + (\partial_y\partial_z -\partial_z\partial_y)A_x + (\partial_z\partial_x -\partial_x\partial_z)A_y.$$ Si las derivadas parciales de conmutar actuando en $\mathbf{A}$, entonces la divergencia de $\mathbf{B}$ se desvanece, y no hay magnético de densidad de carga. Pero supongamos que queremos una teoría de los monopolos magnéticos ---el cálculo de derivadas parciales necesita romper por algún lado.

Así que una posibilidad podría ser la de tomar el vector potencial de ser la función continua que aparecen en Kyle Kanos la respuesta $$A_x=A_y=0$$$$A_z=\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},$$ Aquí las derivadas parciales de conmutar todas partes excepto en el origen, donde sólo se obtiene una diferencia finita (no como una función delta). Así que esto es muy interesante, pero no físicamente relevante, ya que la integral de Lebesgue del campo magnético de densidad de carga por encima de cualquier finito volumen sigue siendo cero.

En cambio el monopolo magnético es descrito por el vector potencial de una cadena de Dirac: $$A_x = \frac{\mp y}{r(r\pm z)}$$ $$A_y = \frac{\pm x}{r(r\pm z)}$$ $$A_z = 0,$$ donde las dos opciones de signo sólo están relacionados por un indicador de la transformación. A diferencia del ejemplo anterior este vector potencial no está definido en el origen. Si usted trabaja en coordenadas esféricas usted encontrará que la divergencia del campo magnético es una función delta, por lo que este hecho se describe un no-cero carga magnética.

El hecho de que tenemos más de un indicador de función equivalente, y el hecho de que las funciones no están definidas en todos los puntos son típicos de la forma en que el cálculo de derivadas parciales de falla en la física.

Aquí hay otro ejemplo. Dada una función de $f(x,y)$ de dos variables $$(\nabla\times \nabla f)_z = (\partial_x\partial_y -\partial_y\partial_x) f, $$ y así por Avivar el teorema de si las derivadas parciales conmutar la integral de línea de un gradiente de campo vectorial alrededor de un circuito cerrado es cero.

Ahora tome la función de $\phi(x,y)$ que simplemente devuelve el ángulo de$0$$2\pi$. Hay una discontinuidad en el eje x positivo donde $0$ cumple con $2\pi$, pero el gradiente de $\phi$ todavía puede ser definido de forma continua aquí. Se puede considerar una segunda función de $\phi^\prime$ que, por el contrario devuelve el ángulo en el rango de $-\pi$ $3\pi/4$cambio de la discontinuidad a la negativa del eje y. Esta función tiene el mismo gradiente de la $\phi$ y es como el adicional de calibre equivalente vector potencial en la cadena de Dirac ejemplo anterior.

Si nos fijamos en cómo tomar gradientes y rizos en coordenadas cilíndricas $$\nabla\phi = \nabla\phi^\prime = \rho^{-1}\hat{\phi},$$ donde $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ $\hat{\phi}$ es el vector unitario en la dirección angular. Tomando el rizo, $$\nabla\times(\nabla\phi)=-\partial_z (\rho^{-1}) \hat{\rho} + \rho^{-1}\partial_\rho (\rho\,\rho^{-1})\hat{z} = 0. $$

Pero a pesar de que el curl parece ser cero, claramente la integral de línea de $\phi$ o $\phi^\prime$ alrededor de un bucle cerrado que contiene el origen es $2\pi$, lo que parece violar el Stoke del teorema. Sin embargo, en cualquier medir el ángulo de $\phi$ y su pendiente no está definida en el origen, y que es donde la commutivity de derivadas parciales se rompe. Ya sabemos que la integral de línea de cualquier lazo cerrado alrededor del origen es $2\pi$ esto significa $$(\nabla\times\nabla\phi)_z = (\partial_x\partial_y -\partial_y\partial_x) \phi = 2\pi\delta(x,y).$$

Esto puede parecer estar físicamente irrelevante, pero en superfluids la función de $\phi$ es el parámetro de orden, y su pendiente es la superfluido de velocidad. El superfluido sólo se permite a los no-cero de vorticidad (curvatura de la velocidad) en el núcleo de un defecto topológico. En el límite de espesor cero, el defecto topológico es igual que la discontinuidad en el origen, en el ejemplo anterior.

Answer 2

El requisito general que se busca es que la particular función de la clase de $C^1$, donde

...si todo el fin de $p$ derivadas parciales evaluadas en un punto de $\mathbf a$: $$\frac{\partial^p}{\partial x_1^{p1}\partial x_1^{p2}\cdots\partial x_n^{pn}}f\left(\mathbf x\right)\vert_{\mathbf x=\mathbf a}$$ existen y son continuas, donde $p1,\,p2, ..., pn$, e $p$ son como anteriormente, para todos los $\mathbf a$ en el dominio, $f$ es diferenciable a fin de $p$ en todo el dominio y tiene la diferenciabilidad de la clase $C^p$.

Por lo $C^1$ funciones genéricamente han discontinuo segunda derivada, como se solicitó. Wikipedia da la siguiente función como un ejemplo de que no obedece a la simetría de la 2ª derivada, $$ f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy\left(x^2-y^2\right)}{x^2+y^2}&x,y\neq0 \\ 0&x,y=0\end{casos} $$ La evaluación de la mezcla de derivados en $(x,y)=(0,0)$ conduce a una respuesta de $\partial_x\partial_yf\vert_{(x,y)=(0,0)}=1$$\partial_y\partial_xf\vert_{(x,y)=(0,0)}=-1$.

Este Desbordamiento de Matemáticas post describe las funciones que se diferenciable en todas partes, pero tienen discontinuo derivados, pero parece que ninguno de ellos son realmente los modelos de la física. Una respuesta incluso los estados,

Como yo lo veo, las funciones que son diferenciables pero no $C^1$ juega un papel muy pequeño en la física, por la simple y única razón, que juegan un papel muy pequeño en matemáticas.

Así que es posible que multivariante funciones que no son $C^2$ no puede ser encontrado en la física, aunque si alguien tiene un ejemplo, voy a apreciar la adición.

Answer 3

Si quieres ser físico, usted tendría que tener una interpretación física de los derivados.

Si ya has tomado dos de los derivados usted puede preguntarse si es posible tomar el gradiente de las segundas derivadas. Si es así, entonces el segundo derivados conmutado, si no, entonces el segundo derivados son extraños (si algo no era extraño que usted podría tomar el gradiente).

Tenga en cuenta que usted tiene un campo de vectores, pero al ser un vector no tenía nada que ver con. Campos escalares como la temperatura o la presión también puede no tener un segundo derivados de viaje.

Además, ¿cómo se toman las derivadas parciales de vectores en el primer lugar? Toma derivados de los tres campos escalares correspondientes a los componentes (con adecuado entre los factores adicionales si el marco de las coordenadas de los vectores de cambios).

Así que el segundo derivados no conmuta cuando la segunda derivada es raro. Eso es muy vago. Pero aquí es un ejemplo. Si usted tiene un campo eléctrico, entonces la derivada primera está relacionada con la densidad de carga, así que lo que si desea una densidad de carga cuyo gradiente es discontinuo. A continuación, ciertas combinaciones de la segunda derivados del campo eléctrico será discontinuo, por lo que algunos de ellos tendrán que ser discontinua sí mismos.

Así que si quieres una densidad de carga sin necesidad de una segunda derivada, entonces el campo eléctrico puede no tener los desplazamientos en derivadas parciales.

Que tiene sentido. La primera derivados tienen que existir en algún sentido (y tener en cuenta que los rizos y las divergencias pueden existir incluso si los parciales utiliza comúnmente para hacer de ellos no), de modo que los derivados del campo eléctrico puede ser igual a la distribución de carga. El segundo de los derivados del campo eléctrico podría no existir si la distribución es discontinua, pero si el cargo de un gradiente, a continuación, el segundo de los derivados y el gradiente continuo que es bueno. No es suficiente. Sin embargo, si la pendiente de la distribución de carga es discontinuo, a continuación, una combinación de la segunda deriva de la intensidad de campo eléctrico es discontinuo, así que una de las segundas derivadas de la intensidad de campo eléctrico debe ser discontinua. Sin embargo, eso no significa que los parciales no conmuta, sólo que no conmutan.

Y hay generalizaciones a derivadas parciales (llamado débil derivados) que no siempre se conmuta cuando se dan funciones, pero a veces se dan las distribuciones en lugar de funciones. Y que es sólo su forma de detener. Después de todo, algunas veces usted no puede simplemente tomar un derivado una y otra vez.

Y a las personas que quieren asumir que todo lo que es suave, a veces, que hace que los viajes en el tiempo, se forman en una región donde el tiempo de viaje era evitable por no hacer las cosas suaves, por lo que forzar las cosas para ser liso puede cambiar las cosas en tan gran manera de lo posible.

Que dijo. Si usted tiene algo sin un primer, segundo, o tercer derivados pregúntese: ¿hay algo con aquellos derivados que experimentalmente se ve o actúa de la misma o muy cerca de lo que tengo y cómo puedo estar tan seguro de que no tenía que lugar?

Así que si hay algo con suficiente derivados que está bastante cerca de lo que tienen, tal vez, que es en realidad lo que se tiene. Las cosas a tener en cuenta son si usted está haciendo algo que es sensible a cosas que no puede controlar, la falta de reproducibilidad no es un amigo de la ciencia, después de todo.

Tenga en cuenta que incluso una falta de un regular de la primera derivada parcial de un campo eléctrico que sucede, por ejemplo, en una superficie de distribución de carga. Así que usted puede fácilmente (matemáticamente) hacer una distribución de carga que es continua y que incluso la línea de las pendientes para que coincida con la superficie, pero lo de la segunda derivados no son continuos y donde la mezcla de los parciales no están de acuerdo sólo por la conformación de la distribución de carga.

Pero que la distribución de carga será uno que sólo se puede aproximar en el laboratorio. Cómo evitar que los hay que lo hacen y no tienen tercera derivados?

¿A menudo te dicen que nunca se sabe para seguro de lo que tiene, que siempre hay algunas aproximaciones. Así que dices que quieres una cosa que tiene algunos de sus derivados y, a continuación, considerar todas las cosas donde él y su primera m derivados son suficientemente cerca de lo que imaginaba, entonces la imagen utilizando algún azar cosa de ese conjunto.

Eso es similar a las especificaciones te gustaría hacer en sus notas de laboratorio, de que la máquina de un material a un tamaño determinado con cierto error y entonces tal vez usted también desea que el borde de tener una cierta falta de wiggle algunos errores y tal vez usted quiere que meneo para no cambiar algunos errores. Pero en algún momento dejó de medición y se detuvo a fin de especificar y de modo que usted no sabe o no importa lo que usted tiene. Si su regularmente reproducir sus resultados, a continuación, que la vaguedad de la especificación no importa, si usted no puede, usted podría encontrar que usted no sólo quiere el tamaño dentro de 1mm usted también necesita el borde para no saltar alrededor de una pendiente a otra demasiado, o tal vez usted necesita la pendiente no cambia demasiado, si es importante que usted especifique.

También hay que tener en mente la distinción entre un nivel macroscópico (promedio) del campo electromagnético y microscópico (que se dispara alrededor de cada átomo individual). También, un campo de velocidad es un promedio de campo, no es la velocidad de cada molécula de agua en el fluido.

Por lo que la falta de conmutatividad es generalmente asumida de distancia. Ya sea por el cambio a la debilidad de los derivados, o teniendo en cuenta los campos que habían determinado la diferenciabilidad y, a continuación, teniendo en cuenta las cosas que él y sus derivados son suficientemente cerca de la que tenía en mente.

O incluso sólo señalar que su función matemática era sólo un modelo de la configuración real de manera que los detalles acerca de los límites en un punto puede estar más allá del alcance de su modelo.

Por ejemplo, los débiles derivados en realidad son sólo sensibles a la media derivados de alguna región finita, que no se preocupan por un punto.

Answer 4

Una discontinuidad en el flujo de agua puede ser una pared, o una obstrucción que el agua todavía está recibiendo alrededor, pero no fluye directamente a través de. En lo finito de la corriente eléctrica podría ser una sustancia con diferente conductividad, especialmente cero o ∞. En teoría, la mezcla de las segundas derivadas parciales no sería, en general, iguales, justo en la cúspide de un límite como estas. En la práctica, si uno ve lo suficientemente cerca de lo que se denomina discontinuidad física, uno puede encontrar a ser un muy alto valor derivado, y no una discontinuidad en todo, desde las cosas tienden a difuminar como uno se ve muy cerca, y no tienen bordes afilados. No estoy seguro de si discontinuidades en realidad existen en la física experimental, pero podemos hablar de ellos en teoría.

Answer 5

Singularidades en las funciones que a menudo conducen a la no desplazamientos de las segundas derivadas. Como para una interpretación Física creo que el siguiente ejercicio puede ayudar:

1. La derivada parcial puede ser a partir de Primeros Principios puede ser escrito como df(x,y)/dx = f(x+h,y)-f(x,y))/h i.e la función se incrementa en h y, a continuación, la derivada se encuentra. (x,y+h). .(x+h,y+h)

   (x,y). .(x+h,y)

Cuando usted toma la parcial respecto de x y luego wrt y se mueven horizontalmente y luego verticalmente. En el otro caso, es mover verticalmente y luego horizontalmente.

Para el buen funciones continuas de llegar al mismo lugar, pero si la función no tiene ningún singularidades y todavía los derivados no conmutan entonces eso significa que usted está en un espacio donde (x+y) != (y+x) No desplazamientos de los espacios puede llevar a la no-desplazamientos derivados.

Todos los derivados son parciales lo sentimos, todavía estoy aprendiendo de látex, así que lo siento por los extraños de la fuente.