El % de matriz $I_n - v^t x$es invertible cuando $\langle v, x \rangle \neq 1$

Question

Deje $v \neq 0$ ser cualquier vector en $\Bbb R^n$ y vamos, $U_v = \{x \in \Bbb R^n : \langle v,x \rangle \neq 1\}$. Entonces:

(i) demuestre que la matriz $I_n - v^t x$ es invertible $\forall x \in U_v$.

(ii) Calcular la derivada de el mapa $f:U_v \to GL_n(\Bbb k)$ ($\Bbb k = \Bbb R \text{ or } \Bbb C$) definido por $$f(x)={(I-v^tx)}^{-1} .$$

Mi intento:

(yo) he intentado hacerlo mediante determinante, pero no podía hacerlo.

(ii) se Observó $f=f_2 \circ f_1$, donde $$f_1 : U_v \to GL_n(\Bbb R)$$ $$x \mapsto (I_n - v^t x)$$ and $$ f_2 : GL_n(\Bbb R) \to GL_n(\Bbb R)$$ $$ A \mapsto A^{-1}$$

A continuación, derivados, ${Df_1}_{(x)} (h)= -v^t h$${Df_2}_{(A)}(H)= -A^{-1}HA^{-1} $.

Aplica la Regla de la Cadena para obtener, $$Df_x (h)= {(I_n - v^tx)}^{-1} (v^t h){(I_n - v^tx)}^{-1}$$

Creo que he hecho en la parte (ii) sólo para $\Bbb k = \Bbb R$.

Cómo probar la parte (i) y si hay algún error en mi intento, en parte, a $(ii)$, a continuación, favor de señalarlo. Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

El $(1)$ de parte de su pregunta se desprende el conocido lema determinante de la matriz (la prueba de que no es difícil).

Usando el lema, tenemos $$ \det (I_n - v ^ t x) = (1-x ^ t I_n ^ {-1} v) \det I_n = 1 - x ^ t v = 1- \neq 0 $$ por lo tanto, la matriz en cuestión es inversible.

Answer 2

(i) Una opción es intentar construir explícitamente una inversa de a $I_n - v^t x$. Esta es una modificación de la matriz de identidad por un rango de-$1$ matriz, por lo que es natural suponer que una inversa tendría la misma propiedad: por lo tanto, escribir el candidato a la inversa como $I_n + w^t y$ para algunos vectores $w, y$ (todos los vectores que aquí son vectores fila). Por definición, tenemos $$I_n = (I_n - v^t x)(I_n + w^t y) .$$ Multiplicando ambos lados, a la derecha por $y^T$ muestra que $v \parallel w$, y en lugar de multiplicar los dos lados de la izquierda por $w$ muestra que $x \parallel y$, por lo que la inversa debe tener la forma $$(I_n - v^t x)^{-1} = I_n + \lambda v^t x$$ for some $\lambda$. Using again the definition of matrix inverse and solving gives $\lambda$. (Note that the expression is undefined when $v x^t = 1$, lo que da pistas de por qué esa condición de ser necesario).

Comentario Este da un caso especial de la Sherman-Morrison Fórmula, en sí mismo un caso especial de la Woodbury Matriz Identidad.

Alternativamente, uno puede calcular el determinante de a $I_n - v^t x$ usando el Determinante de la Matriz de Lema, que le da el determinante de un rango-$1$ actualización de una matriz. Una sencilla prueba para el caso aquí (donde la partida matriz es $I_n$) se da aquí.

(ii) la solución se ve bien para mí.

Answer 3

Aquí es un enfoque diferente donde se puede encontrar la inversa de forma explícita. Pero primero, permítanme escribir $X=x^t$$V=v^t$, de modo que mientras que su $v$ $x$ son vectores fila, mi $X$ $V$ son vectores columna. (Esto es sólo una preferencia estilística.)

Deje $\alpha$ ser un número que usted está tratando de encontrar por lo que el $I_n+\alpha VX^t$ es la inversa de a $I_n-VX^t$. Este formulario puede ser sugerente desde la intuición (nota: $(1-z)(1+\alpha z)=1+\alpha z-z-\alpha z^2$ y tiene una situación $z^2=\beta z$ algunos $\beta$; ver más abajo) o el Determinante de la Matriz de la Fórmula vinculada a Hayk la respuesta. Así que vamos a intentarlo $$ (I_n-VX^t)(I_n+\alpha VX^t)=I_n+\alpha VX^t-VX^t-(\alpha X^tV)VX^t $$ así que usted quiere $$ 0=\alpha(1-X^tV)-1\implica\alpha=\frac{1}{1-X^tV}. $$ Nota: hemos utilizado $X^tV\neq 1$. Todo este trabajo de adivinar de ahora se puede hacer de manera rigurosa por verificar directamente que $$ (I_n-VX^t)\left(I_n+\frac{1}{1-X^tV}VX^t\right)=I_n=\left(I_n+\frac{1}{1-X^tV}VX^t\right)(I_n-VX^t). $$ En su notación original, la última línea de arriba asciende a $$ (I_n-v^tx)\left(I_n+\frac{1}{1-\langle x,v\rangle}v^tx\right)=I_n=\left(I_n+\frac{1}{1-\langle x,v\rangle}v^tx\right)(I_n-v^tx). $$