Cómo mostrar que $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos(k+1)x - \cos kx}{k}$ converge?
Mi solución: he intentado utilizar de Cauchy teorema de convergencia. Para cualquier $\epsilon>0$, necesito encontrar a $N$ tal que para todos los $n \geq m \geq N$, la desigualdad
$$
\left| \sum_{k=m+1}^{n} \frac{\cos(k+1)x - \cos kx}{k} \right|<\epsilon
$$
sostiene.
Tenemos
$$
\left| \sum_{k=m+1}^{n} \frac{\cos(k+1)x - \cos kx}{k} \right|\\
=\left| -2\sum_{k=m+1}^{n} \frac{\sin(\frac{k}{2}+1)x \sin \frac{1}{2}x}{k} \right| \\
\leq \left| -2\sum_{k=m+1}^{n} \frac{1}{k} \right|\\
= \sum_{k=m+1}^{n} \frac{1}{k}.
$$
Pero yo no soy de los que parece que sólo cuando se $n$ está cerca de $m$, $\sum_{k=m+1}^{n} \frac{1}{k}$ es pequeña.
Muchas gracias.
